Question

6．如图，已知矩形ABCD，AB=$\sqrt{3}$，BC=3，在BC上取两点E，F（E在F左边），以时为边作等边三角形PEF，使顶点P在AD上，PE，PF分别交AC于点G，H．
（1）求△PEF的边长；
（2）在不添加辅助线的情况下，当F与C不重合时，从图中找出一对相似三角形 （不含全等形），并证明；
（3）若△PEF的边EF在线段BC上以每秒1个单位的速度移动．设船的长为x，PH的长为y，请你写出x与y的函数式，并指出函数自变量的取值范围．

Answer 1

分析 （1）过P点作PM⊥BC，垂足为M，则PM=AB=$\sqrt{3}$．由等边三角形的性质得出∠PEF=60°，由三角函数求出PE即可；
（2）由矩形的性质证出 AD∥BC，得出∠PAH=∠FCH，再由对顶角相等即可得出结论；
（3）由等边三角形的性质得出EM═$\frac{1}{2}$EF=1，再由三角函数求出∠ACB=30°，由三角形的外角性质得出∠PAH=∠PHA，得出PH=AP，由矩形的性质得出AP=BM，即可得出结论．

解答 解：（1）过P点作PM⊥BC，垂足为M，如图所示：
则PM=AB=$\sqrt{3}$．
∵△PEF为等边三角形，
∴∠PEF=60°．    
在Rt△PEM中，PE=$\frac{PM}{sin60°}$=2，
∴△PEF的边长为2．    
（2）△AHP∽△CHF，理由如下：
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，
∴∠PAH=∠FCH．    
又∵∠AHP=∠CHF，
∴△AHP∽△CHF．    
（3）在等边△PEF中，PM⊥BC，
则四边形ABMP为矩形；
由三线合一得：EM=$\frac{1}{2}$EF=1．
在Rt△ABC中，tan∠ACB=$\frac{AB}{BC}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠ACB=30°．    
又∵△FHC的外角∠BFH=60°，
∴∠FCH=∠FHC=30°，
则∠PAH=∠PHA，
∴PH=AP．    
∵四边形ABMP为矩形，
∴AP=BM，
∴AP=BM=BE+EM=BE+1．
即y=x+1，其中0≤x≤1．

点评 本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质与判定、等边三角形的性质、三角函数、相似三角形的判定与性质、三角形的外角性质等知识；本题难度较大，综合性强，利于培养学生的创新能力．