Question

【题目】如图，将矩形置于平面直角坐标系中，在轴上，在轴上，点的坐标为，对角线与相交于点，是第一象限内一点．

（1）如图1，若，，试判断四边形的形状，并说明理由；

（2）如图2，当点使得时，求证：；

（3）在（2）的条件下，如果与恰好相等，求点的坐标．

Answer 1

【答案】（1）四边形BDCE是菱形，证明见解析 （2）证明见解析 （3）

【解析】

（1）根据，得证四边形BDCE是平行四边形，再根据矩形对角线的性质可得，即可证明四边形BDCE是菱形；

（2）设，根据两点间距离公式和勾股定理即可求证；

（3）根据与恰好相等可得，联立（2）中的方程，即可解得x的值，再根据是第一象限内一点，即可求出点的坐标．

（1）∵，

∴四边形BDCE是平行四边形

∵四边形ABCO是矩形

∴

∴四边形BDCE是菱形．

（2）设

∵四边形ABCO是矩形，点的坐标为

∴

∴，，

∵

∴

∴

∴，，

∴，

∴

∴．

（3）∵，，

∴

由（2）可得

将代入中

解得

将分别代入中

，

∴或

∵是第一象限内一点

∴．