Question

【题目】如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AC=AD，M，N分别为AC，CD的中点，连结BM，MN．

（1）求证BM=MN；

（2）若∠BCN=135°，求∠BMN的度数．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）90°

【解析】

（1）根据直角三角形斜边中线性质得出BM=AC，再根据中位线定理得出MN=AD，结合AC=AD即可得出结论；

（2）根据题意得出BM=CM=MN，从而得出∠MBC=∠BCM，∠MCN=∠MNC，结合∠BCN=135°，根据三角形内角和以及∠BMN=∠BMC+∠CMN得出∠BMN的度数.

解：（1）证明：∵∠ABC=90°，M为AC中点，

∴BM=AC，

∵N是CD中点，

∴MN=AD，

∵AC=AD，

∴BM=MN；

（2）∵点M是AC中点，

∴BM=AM=CM=MN，

∴∠MBC=∠BCM，∠MCN=∠MNC，

∵∠BCN=∠BCM+∠MCN=135°，

∴∠BMN=∠BMC+∠CMN

=180°-（∠BCM+∠MBC）+180°-（∠MCN+∠MNC）

=360°-2（∠BCM+∠MCN）

=360°-270°=90°.