Question

14．如图，已知在△ABC中，∠ACB=90°，CD为高，且CD，CE三等分∠ACB．
（1）求∠B的度数；
（2）求证：CE是AB边上的中线，且CE=$\frac{1}{2}$AB．

Answer 1

分析 （1）利用直角△BCD的两个锐角互余的性质进行解答；
（2）利用已知条件和（1）中的结论可以得到△ACE是等边三角形和△BCE为等腰三角形，利用等腰三角形的性质证得结论．

解答 （1）解：∵在△ABC中，∠ACB=90°，CD，CE三等分∠ACB，
∴∠ACD=∠DCE=∠BCE=30°，则∠BCD=60°，
又∵CD为高，
∴∠B=90°-60°=30°
30°；
（2）证明：由（1）知，∠B=∠BCE=30°，则CE=BE，AC=$\frac{1}{2}$AB．
∵∠ACB=90°，∠B=30°，
∴∠A=60°，
又∵由（1）知，∠ACD=∠DCE=30°，
∴∠ACE=∠A=60°，
∴△ACE是等边三角形，
∴AC=AE=EC=$\frac{1}{2}$AB，
∴AE=BE，即点E是AB的中点．
∴CE是AB边上的中线，且CE=$\frac{1}{2}$AB．

点评 本题考查了等腰三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线．本题解题过程中利用了“等角对等边”以及等边三角形的判定与性质证得（2）的结论的．