Question

【题目】如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝3cm，BC＝4cm，点E是BC上一点，且CE＝1cm．点P由点C出发，沿CD方向向点D匀速运动，速度为1cm/s；点Q由点A出发，沿AD方向向点D匀速运动，速度为cm/s，点P，Q同时出发，PQ交BD于F，连接PE，QB，设运动时间为t(s)(0＜t＜3)．

(1)当t为何值时，PE∥BD？

(2)设△FQD的面积为y(cm2)，求y与t之间的函数关系式．

(3)是否存在某一时刻t，使得四边形BQPE的周长最小．若存在，求出此四边形BQPE的面积；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）t=；（2）；（3）存在，四边形BQPE的周长的最小值为3+．

【解析】

(1)当时，PE∥BD，由此构建方程即可解决问题．

(2)作FH⊥DQ．首先证明QF∥OA，△QDF是等腰三角形，求出FH即可解决问题．

(3)如图2中，作B关于直线AD的对称点B′，点E关于直线CD的对称点E′，连接B′E′交AD于Q，交CD于P，连接BQ，PE．此时BQ+QP+PE+BE的值最小．

解：(1)∵四边形ABCD是矩形，

∴AB＝CD＝3，AD＝BC＝4，∠BAD＝90°，

，

，

当时，，

，

∴t=s时，PE∥BC．

(2)如图1中，作FH⊥DQ．

，，

，，

，

∴FQ∥OA，

∴∠FQD＝∠OAD，

∵OA＝OD，

∴∠ODA＝∠OAD，

∴∠FDQ＝∠FQD，

∴FQ＝FD，∵FH⊥DQ，

，

，

，

，

∴．

(3)如图2中，作B关于直线AD的对称点B′，点E关于直线CD的对称点E′，连接B′E′交AD于Q，交CD于P，连接BQ，PE．

∵BQ+QP+PE+BE＝B′Q+QP+PE′+BE＝B′E′+BE＝B′E′+3，

∴此时BQ+QP+PE+BE的值最小，

，

∴四边形BQPE的周长的最小值为3+．