Question

【题目】在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点P在边AB上，点D、Q分别为边BC上的点，线段AD的延长线与线段PQ的延长线交于点F，连接CP交AF于点E，若∠BPF=∠APC，FD=FQ．

（1）如图1，求证：AF⊥CP；

（2）如图2，作∠AFP的平分线FM交AB于点M，交BC于点N，若FN=MN，求证：；

（3）在（2）的条件下，连接DM、MQ，分别交PC于点G、H，求的值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）．

【解析】

（1）由∠APC=∠BPQ，得∠ACP=∠PQB，由∠FDQ=∠CDA，∠FQD=∠PQB，推出∠ACP=∠CDA，由∠ACP=∠CDA，推出CP⊥AF；

（2）作WB⊥BC，交CP延长线于点W，由△ACD≌△CBW，QBPWBP，得出CD=QB，由FM平分∠DFQ，DF=FQ,，得到 ND=NQ，FN⊥BC，

由MN=FN=，得到 DN=DC，由DN=NQ，得到DQ=BC；

（3）易证四边形DFQM是平行四边形，进而得△EDG～△HQP，即可求解．

（1）∵∠APC=∠BPQ，∠A=∠B，∠APC+∠A+∠ACP=∠BPQ+∠B+∠PQB=180°，

∴∠ACP=∠PQB，

∵FD=FQ，

∴∠FQD=∠FDQ，

又∵∠FDQ=∠CDA， ∠FQD=∠PQB，

∴∠CDA=∠PQB，

∴∠ACP=∠CDA，

∴∠CDA +∠BCP =∠ACP+∠BCP=∠ACB=90°，

∴AF⊥CP；

（2）作WB⊥BC，交CP延长线于点W，

∵∠ABC=∠PBW=45°，PB=PB，∠BPF=∠APC=∠BPW，

∴QBPWBP（ASA），

∴BQ=BW，

∵∠BCP+∠ACP=∠ACP+∠CAD=90°，

∴∠BCP=∠CAD，

∵AC=BC，∠ACD=∠CBW=90°，

∴ACDCBW（ASA），

∴CD=BW，

∴BQ= CD，

∵FM平分∠DFQ，DF=FQ，

∴ ND=NQ，FN⊥BC，

∴FN∥AC，

∵CD+DN=BQ+QN，

∴CN=BN，

∴MN是BAC的中位线，

∴MN=FN=，

∴，即：DN=，

∴DN=NQ==，

∴DQ= CD=BQ，

∴DQ=BC；

（3）∵DN=NQ，MN=FN，

∴四边形DFQM是平行四边形，

∴AF∥MQ，DM∥FP，

∴∠EGD=∠HPQ，∠DEG=∠QHP=90°，

∴△EDG～△HQP ，

∴．