Question

7．（1）问题发现：如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，当△DCE旋转至点A，D，E在同一直线上，连接BE，易证△BCE≌△ACD．则
①∠BEC=120°；②线段AD、BE之间的数量关系是AD=BE．
（2）拓展研究：
如图2，△ACB和△DCE均为等腰三角形，且∠ACB=∠DCE=90°，点A、D、E在同一直线上，若AE=15，DE=7，求AB的长度．
（3）探究发现：
如图3，P为等边△ABC内一点，且∠APC=150°，且∠APD=30°，AP=5，CP=4，DP=8，求BD的长．

Answer 1

分析 （1）由条件易证△ACD≌△BCE，从而得到：AD=BE，∠ADC=∠BEC．由点A，D，E在同一直线上可求出∠ADC，从而可以求出∠BEC的度数．
（2）同（1）证出△ACD≌△BCE，得出AD=BE=AE-DE=8，∠ADC=∠BEC，求出∠BEC=135°，得出∠AEB=∠BEC-∠CED=90°．由勾股定理求出AB即可；
（3）把△APC绕点C逆时针旋转60°得△BEC，连接PE，则△BEC≌△APC，得出CE=CP，∠PCE=60°，BE=AP=5，∠BEC=∠APC=150°，证出△PCE是等边三角形，得出∠EPC=∠PEC=60°，PE=CP=4，求出∠BED=∠BEC-∠PEC=90°，证明D、P、E在同一条直线上，得出DE=DP+PE=12，再由勾股定理求出BD即可．

解答 解：（1）①∵△ACB和△DCE均为等边三角形，
∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°．
∴∠ACD=∠BCE．
在△ACD和△BCE中，$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}&{\;}\\{∠ACD=∠BCE}&{\;}\\{CD=CE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE（SAS）．
∴∠ADC=∠BEC．
∵△DCE为等边三角形，
∴∠CDE=∠CED=60°．
∵点A，D，E在同一直线上，
∴∠ADC=120°．
∴∠BEC=120°．
故答案为：120．
②由①得：△ACD≌△BCE，
∴AD=BE；
故答案为：AD=BE．
（2）∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，
∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°．
∴∠ACD=∠BCE．
在△ACD和△BCE中，$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}&{\;}\\{∠ACD=∠BCE}&{\;}\\{CD=CE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE（SAS）．
∴AD=BE=AE-DE=15-7=8，∠ADC=∠BEC，
∵△DCE为等腰直角三角形
∴∠CDE=∠CED=45°．
∵点A，D，E在同一直线上，
∴∠ADC=135°．
∴∠BEC=135°．
∴∠AEB=∠BEC-∠CED=90°．
∴AB=$\sqrt{A{E}^{2}+B{E}^{2}}$=$\sqrt{1{5}^{2}+{8}^{2}}$=17；
（3）把△APC绕点C逆时针旋转60°得△BEC，连接PE，如图所示：
则△BEC≌△APC，
∴CE=CP，∠PCE=60°，BE=AP=5，∠BEC=∠APC=150°，
∴△PCE是等边三角形，
∴∠EPC=∠PEC=60°，PE=CP=4，
∴∠BED=∠BEC-∠PEC=90°，
∵∠APD=30°，
∴∠DPC=150°-30°=120°，
又∵∠DPE=∠DPC+∠EPC=120°+60°=180°，
即D、P、E在同一条直线上，
∴DE=DP+PE=8+4=12，
在Rt△BDE中，$BD=\sqrt{D{E^2}+B{E^2}}=\sqrt{{{12}^2}+{5^2}}=13$，
即BD的长为13．

点评 本题是三角形综合题目，考查了等边三角形的性质与判定、等腰直角三角形的性质、三角形全等的判定与性质、旋转的性质、勾股定理等知识；本题综合性强，有一定难度，熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题的关键．