精英家教网 > 初中数学 > 题目详情

【题目】如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=﹣a(x+1)(x﹣3)(a>0)x轴交于A、B两点,与y轴交于点C.抛物线的对称轴与x轴交于点E,过点Cx轴的平行线,与抛物线交于点D,连接DE,延长DEy轴于点F,连接AD、AF.

(1)A的坐标为____________,点B的坐标为_________ ;

(2)判断四边形ACDE的形状,并给出证明;

(3)a为何值时,ADF是直角三角形?

【答案】(1)A(﹣1,0),点B(3,0);(2)四边形ACDE是平行四边形.证明见解析;(3)当时,△ADF为直角三角形.

【解析】

(1)根据抛物线的解析式可知当y=0,x=﹣1x=3,即可得解;

(2)由(1)可得抛物线对称轴为直线x=1,根据抛物线图象性质易得AE=CD=2,又因为,所以四边形ACDE是平行四边形

(3)过点DDG⊥AB于点G,通过“角边角”易证△OEF ≌△DEG,OF=GD=3a,F点坐标为(0,-3a),①∠DAF=90°,则∠DAG+∠FAO=90°,然后证明△AOF∽△DGA,得到,然后求得符合题意的a即可;∠DFA=90°,则∠DFC+∠AFO=90°,易得OF垂直平分AE,AF=EF,∠DFC=∠AFO=45°,所以OF=OA,,a=.

(1)根据题意可知,

∵y=﹣a(x+1)(x﹣3),

y=0时,x=﹣1x=3,

A(﹣1,0),点B(3,0);

(2)四边形ACDE是平行四边形.

证明如下:令

A(﹣1,0),B(3,0),

抛物线的对称轴为直线x=1,

∴点D(2,3a),E(1,0),

∴AE=CD=2,

四边形ACDE是平行四边形

(3)过点DDG⊥AB于点G,由,可知OE=GE,

∵∠FOE=∠DGE=90°,∠OEF=∠GED,

∴△OEF ≌△DEG(ASA),

∴OF=GD=3a,

∴F点坐标为(0,-3a),

讨论:∠DAF=90°,则∠DAG+∠FAO=90°,

∠FAO+∠AFO=90°,

∴∠DAG=∠AFO,

∠AOF=∠DGA=90°,

∴△AOF∽△DGA,

∵a > 0,

以上各步均可逆,故合题意

∠DFA=90°,则∠DFC+∠AFO=90°,

∴OF垂直平分AE,

∴AF=EF,

∴∠DFC=∠AFO=45°,

∴OF=OA,

以上各步均可逆,故合题意.

综上,当时,△ADF为直角三角形.

练习册系列答案
相关习题

科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】有两个信封,每个信封内各装有四张完全相同的卡片,其中一个信封内的四张卡片上分别写有1,2,3,4四个数,另一个信封内的四张卡片上分别写有5,6,7,8四个数.甲,乙两人商定了一个游戏,规则是:从这两个信封中各随机抽取一张卡片,然后把卡片上的两个数相乘,如果得到的积大于16,则甲获胜,否则乙获胜.

(1)请你通过列表(或画树状图)计算甲获胜的概率;

(2)你认为这个游戏公平吗?为什么?

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】已知二次函数yx2x

(1)在平面直角坐标系内,画出该二次函数的图象;

(2)根据图象写出:x   时,y>0;

0<x<4时,y的取值范围为   

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】如图,OABC是边长为1的正方形,OCx轴正半轴的夹角为15°,点B在抛物线y=ax2(a<0)的图象上,则a的值为(  )

A. B. C. ﹣2 D.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】如图1,二次函数yax22ax3aa0)的图象与x轴交于AB两点(点A在点B的右侧),与y轴的正半轴交于点C,顶点为D

1)求顶点D的坐标(用含a的代数式表示);

2)若以AD为直径的圆经过点C

①求抛物线的函数关系式;

②如图2,点Ey轴负半轴上一点,连接BE,将△OBE绕平面内某一点旋转180°,得到△PMN(点PMN分别和点OBE对应),并且点MN都在抛物线上,作MFx轴于点F,若线段MFBF12,求点MN的坐标;

③点Q在抛物线的对称轴上,以Q为圆心的圆过AB两点,并且和直线CD相切,如图3,求点Q的坐标.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=﹣a(x+1)(x﹣3)(a>0)x轴交于A、B两点,与y轴交于点C.抛物线的对称轴与x轴交于点E,过点Cx轴的平行线,与抛物线交于点D,连接DE,延长DEy轴于点F,连接AD、AF.

(1)A的坐标为____________,点B的坐标为_________ ;

(2)判断四边形ACDE的形状,并给出证明;

(3)a为何值时,ADF是直角三角形?

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】小梅家的阳台上放置了一个晒衣架如图1,图2是晒衣架的侧面示意图,A,B两点立于地面,将晒衣架稳固张开,测得张角AOB=62°,立杆OA=OB=140cm,小梅的连衣裙穿在衣架后的总长度为122cm,问将这件连衣裙垂挂在晒衣架上是否会拖落到地面?请通过计算说明理由(参考数据:sin59°0.86,cos59°0.52,tan59°1.66)

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】函数yy在第一象限内的图象如图,点Py的图象上一动点,PCx轴于点C,交y的图象于点B.给出如下结论:①△ODBOCA的面积相等;②PAPB始终相等;③四边形PAOB的面积大小不会发生变化;④CAAP.其中所有正确结论的序号是(  )

A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②④

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】如图,把直角ABC的斜边AC放在直线l上,按顺时针的方向在直线l上转动两次,使它转到A2B1C2的位置,设AB BAC30°,则顶点A运动到点A2的位置时,点A所经过的路线为(  )

A. +π B. +π C. D. π

查看答案和解析>>

同步练习册答案