【题目】如图,在平面直角坐标系中,—抛物线y=﹣a(x+1)(x﹣3)(a>0)与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C.抛物线的对称轴与x轴交于点E,过点C作x轴的平行线,与抛物线交于点D,连接DE,延长DE交y轴于点F,连接AD、AF.
(1)点A的坐标为____________,点B的坐标为_________ ;
(2)判断四边形ACDE的形状,并给出证明;
(3)当a为何值时,△ADF是直角三角形?
【答案】(1)点A(﹣1,0),点B(3,0);(2)四边形ACDE是平行四边形.证明见解析;(3)当或时,△ADF为直角三角形.
【解析】
(1)根据抛物线的解析式可知当y=0时,x=﹣1或x=3,即可得解;
(2)由(1)可得抛物线对称轴为直线x=1,根据抛物线图象性质易得AE=CD=2,又因为,所以四边形ACDE是平行四边形;
(3)过点D作DG⊥AB于点G,通过“角边角”易证△OEF ≌△DEG,OF=GD=3a,即F点坐标为(0,-3a),①若∠DAF=90°,则∠DAG+∠FAO=90°,然后证明△AOF∽△DGA,得到,然后求得符合题意的a即可;②若∠DFA=90°,则∠DFC+∠AFO=90°,易得OF垂直平分AE,AF=EF,则∠DFC=∠AFO=45°,所以OF=OA,即,a=.
解(1)根据题意可知,
∵y=﹣a(x+1)(x﹣3),
∴当y=0时,x=﹣1或x=3,
∴点A(﹣1,0),点B(3,0);
(2)四边形ACDE是平行四边形.
证明如下:令,得,即,
∵点A(﹣1,0),B(3,0),
∴抛物线的对称轴为直线x=1,
∴点D(2,3a),E(1,0),
∴AE=CD=2,
又,
∴四边形ACDE是平行四边形;
(3)过点D作DG⊥AB于点G,由,可知OE=GE,
又∵∠FOE=∠DGE=90°,∠OEF=∠GED,
∴△OEF ≌△DEG(ASA),
∴OF=GD=3a,
∴F点坐标为(0,-3a),
讨论:①若∠DAF=90°,则∠DAG+∠FAO=90°,
又∠FAO+∠AFO=90°,
∴∠DAG=∠AFO,
又∠AOF=∠DGA=90°,
∴△AOF∽△DGA,
∴,
即,
∴,
∵a > 0,
∴,
∵以上各步均可逆,故合题意;
②若∠DFA=90°,则∠DFC+∠AFO=90°,
又∵,
∴OF垂直平分AE,
∴AF=EF,
∴∠DFC=∠AFO=45°,
∴OF=OA,
∴,
∴,
∵以上各步均可逆,故合题意.
综上,当或时,△ADF为直角三角形.
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【题目】有两个信封,每个信封内各装有四张完全相同的卡片,其中一个信封内的四张卡片上分别写有1,2,3,4四个数,另一个信封内的四张卡片上分别写有5,6,7,8四个数.甲,乙两人商定了一个游戏,规则是:从这两个信封中各随机抽取一张卡片,然后把卡片上的两个数相乘,如果得到的积大于16,则甲获胜,否则乙获胜.
(1)请你通过列表(或画树状图)计算甲获胜的概率;
(2)你认为这个游戏公平吗?为什么?
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【题目】已知二次函数y=x2﹣x﹣.
(1)在平面直角坐标系内,画出该二次函数的图象;
(2)根据图象写出:①当x 时,y>0;
②当0<x<4时,y的取值范围为 .
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【题目】如图,OABC是边长为1的正方形,OC与x轴正半轴的夹角为15°,点B在抛物线y=ax2(a<0)的图象上,则a的值为( )
A. B. C. ﹣2 D.
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【题目】如图1,二次函数y=ax2﹣2ax﹣3a(a<0)的图象与x轴交于A、B两点(点A在点B的右侧),与y轴的正半轴交于点C,顶点为D.
(1)求顶点D的坐标(用含a的代数式表示);
(2)若以AD为直径的圆经过点C.
①求抛物线的函数关系式;
②如图2,点E是y轴负半轴上一点,连接BE,将△OBE绕平面内某一点旋转180°,得到△PMN(点P、M、N分别和点O、B、E对应),并且点M、N都在抛物线上,作MF⊥x轴于点F,若线段MF:BF=1:2,求点M、N的坐标;
③点Q在抛物线的对称轴上,以Q为圆心的圆过A、B两点,并且和直线CD相切,如图3,求点Q的坐标.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,—抛物线y=﹣a(x+1)(x﹣3)(a>0)与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C.抛物线的对称轴与x轴交于点E,过点C作x轴的平行线,与抛物线交于点D,连接DE,延长DE交y轴于点F,连接AD、AF.
(1)点A的坐标为____________,点B的坐标为_________ ;
(2)判断四边形ACDE的形状,并给出证明;
(3)当a为何值时,△ADF是直角三角形?
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【题目】小梅家的阳台上放置了一个晒衣架如图1,图2是晒衣架的侧面示意图,A,B两点立于地面,将晒衣架稳固张开,测得张角∠AOB=62°,立杆OA=OB=140cm,小梅的连衣裙穿在衣架后的总长度为122cm,问将这件连衣裙垂挂在晒衣架上是否会拖落到地面?请通过计算说明理由(参考数据:sin59°≈0.86,cos59°≈0.52,tan59°≈1.66)
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【题目】函数y=和y=在第一象限内的图象如图,点P是y=的图象上一动点,PC⊥x轴于点C,交y=的图象于点B.给出如下结论:①△ODB与△OCA的面积相等;②PA与PB始终相等;③四边形PAOB的面积大小不会发生变化;④CA=AP.其中所有正确结论的序号是( )
A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②④
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【题目】如图,把直角△ABC的斜边AC放在直线l上,按顺时针的方向在直线l上转动两次,使它转到△A2B1C2的位置,设AB= ,∠BAC=30°,则顶点A运动到点A2的位置时,点A所经过的路线为( )
A. ( +)π B. ( +)π C. 2π D. π
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