Question

如图，已知二次函数y=x²-2x-1的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点P，且经过点E（3，2）．
（1）抛物线上是否存在一点M，使△ABM为直角三角形？若存在，求出M点的坐标；若不存在，请说明理由；
（2）抛物线上是否存在一点F，使得△PEF是以P为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点F的坐标及△PEF的面积；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）由抛物线的形状可知，如果△ABM为直角三角形，那么直角顶点只能是点M．设M点的坐标为（x，x²-2x-1），过M点作MN⊥AB于N，由△AMN∽△MBN，得出MN²=AN•BN，由此列出方程（x²-2x-1）²=（x-1+

2

）（

2

+1-x），解方程即可；
（2）先由y=x²-2x-1，求出P点坐标为（0，-1），再利用待定系数法求出直线PE的解析式为y=x-1，当△PEF是以P为直角顶点的直角三角形时，PE⊥PF，根据互相垂直的两直线斜率之积为-1，得出直线PF的斜率为-1，设直线PF的解析式为y=-x+n，将P点坐标代入，求出直线PF的解析式，再与二次函数的解析式联立，即可求出点F的坐标，然后利用三角形的面积公式求出△PEF的面积．

解答：解：（1）由抛物线的形状可知，如果△ABM为直角三角形，那么直角顶点只能是点M，且点M在x轴下方．
设M点的坐标为（x，x²-2x-1），过M点作MN⊥AB于N，如图．
∵y=x²-2x-1，
∴当y=0时，x²-2x-1=0，
解得x=1±

2

，
∴A（1-

2

，0），B（1+

2

，0）．
在△AMN与△MBN中，

∠ANM=∠MNB=90° ∠AMN=∠MBN=90°-∠BMN

，
∴△AMN∽△MBN，
∴

AN

MN

=

MN

BN

，
∴MN²=AN•BN，
即（x²-2x-1）²=（x-1+

2

）（

2

+1-x），
整理，得x⁴-4x³+3x²+2x=0，
x（x-2）（x²-2x-1）=0，
如果x²-2x-1=0，那么点M与点A或点B重合，不合题意舍去，
∴x=0或2，
∴M点的坐标为（0，-1）或（2，-1）；

（2）∵y=x²-2x-1，
∴当x=0时，y=-1，
∴P点坐标为（0，-1）．
设直线PE的解析式为y=kx+b，
∵P（0，-1），E（3，2），
∴

b=-1 3k+b=2

，
解得

k=1 b=-1

，
∴直线PE的解析式为y=x-1，．
∵△PEF是以P为直角顶点的直角三角形，PE⊥PF，
∴直线PF的斜率为-1．
设直线PF的解析式为y=-x+n，
将P（0，-1）代入，得n=-1，
∴直线PF的解析式为y=-x-1．
由

y=-x-1 y=x2-2x-1

，解得

x1=1 y1=-2

，

x2=0 y2=-1

（不合题意舍去），
∴点F的坐标为（1，-2）．
在△PEF中，∵∠EPF=90°，PE=

(3-0)2+(2+1)2

=3

2

，PF=

(1-0)2+(-2+1)2

=

2

，
∴△PEF的面积=

1

2

PE•PF=

1

2

×3

2

×

2

=3．

点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有抛物线的性质，相似三角形的判定与性质，一元高次方程的解法，利用待定系数法求直线的解析式，两函数交点坐标的求法和三角形的面积求法，综合性较强，难度适中．