Question

3．矩形ABCD中，AD=5，AB＜4，将矩形ABCD折起来，使A、C两顶点重合，若折痕EF=$\sqrt{6}$，求AB的长．

Answer 1

分析 如图所示：设AB=x，由勾股定理得；AC=$\sqrt{{x}^{2}+25}$．由翻折的性质可知OC=$\frac{\sqrt{{x}^{2}+25}}{2}$，然后依据AAS证明Rt△AOF≌Rt△CPE，从而可求得OE=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，由△ABC∽△EOC可求得x=$\sqrt{5}$．即AB=$\sqrt{5}$．

解答 解：如图所示：

设AB=x，由勾股定理得；AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{x}^{2}+25}$．
由翻折的性质可知OC=$\frac{1}{2}AC$=$\frac{\sqrt{{x}^{2}+25}}{2}$，EF⊥AC．
∵AF∥EC，
∴∠AFE=∠FEC，∠FAO=∠ECO．
在Rt△AOF和Rt△CPE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AFE=∠FEC}\\{∠FAO=∠ECO}\\{AO=CO}\end{array}\right.$，
∴Rt△AOF≌Rt△CPE．
∴OE=OF=$\frac{\sqrt{6}}{2}$．
∵∠OCE=∠BCA，∠B=∠EOC=90°，
∴△ABC∽△EOC．
∴$\frac{AB}{CB}=\frac{OE}{OC}$，即$\frac{x}{5}=\frac{\frac{\sqrt{6}}{2}}{\frac{\sqrt{{x}^{2}+25}}{2}}$．
解得：x=$\sqrt{5}$．
∴AB=$\sqrt{5}$．

点评 本题主要考查的是翻折的性质、全等三角形的性质和判定、相似三角形的性质和判定，依据相似三角形的性质列出关于x的方程是解题的关键．