Question

3．已知关于x的一元二次方程（k-1）x²-2x+1=0有两个不相等的实数根．
（1）求实数k的取值范围；
（2）设x₁、x₂是方程的两根，是否存在实数k使得${x}_{1}^{2}$+x${\;}_{2}^{2}$=2成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据方程（k-1）x²-2x+1=0有两个不相等的实数根，得出△＞0，求出k的值，再根据k-1≠0，即可得出答案；
（2）先假设存在实数k使得${x}_{1}^{2}$+x${\;}_{2}^{2}$=2成立，根据根与系数的关系求出x₁x，与x₁+x₂的值，再把${x}_{1}^{2}$+x${\;}_{2}^{2}$进行整理，求出k的值，从而得出答案．

解答 解：（1）∵方程（k-1）x²-2x+1=0有两个不相等的实数根，
∴△＞0，即：4-4（k-1）＞0，
解得：k＜2，
又∵k-1≠0，
∴k的取值范围是：k＜2且k≠1；

（2）假设存在实数k使得${x}_{1}^{2}$+x${\;}_{2}^{2}$=2成立：
∵x₁x₂=$\frac{1}{k-1}$，x₁+x₂=$\frac{2}{k-2}$，
∴${x}_{1}^{2}$+x${\;}_{2}^{2}$=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=（$\frac{2}{k-1}$）²-$\frac{2}{k-1}$=2，
解得：k₁=-1，k₂=2，
由（1）知：k＜2且k≠1，
∴k=-1，
即：当k=-1时，${x}_{1}^{2}$+x${\;}_{2}^{2}$=2成立．

点评 本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0?方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0?方程没有实数根．