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【题目】如图,已知AB是半圆O的直径,AB6,点C在半圆O上.过点AADOC,垂足为点DAD的延长线与弦BC交于点E,与半圆O交于点F(点F不与点B重合).

1)当点F的中点时,求弦BC的长;

2)设ODxy,求yx的函数关系式;

3)当△AOD与△CDE相似时,求线段OD的长.

【答案】13;(2y;(3

【解析】

1)连结OF,交BC于点H.得出∠BOF=∠COF.则∠AOC=∠COF=∠BOF60°,可求出BHBC的长;

2)连结BF.证得ODBF,则,即,得出,则得出结论;

3)分两种情况:①当∠DCE=∠DOA时,ABCB,不符合题意,舍去,②当∠DCE=∠DAO时,连结OF,证得∠OAF30°,得出OD,则答案得出.

解:(1)如图1,连结OF,交BC于点H

F中点,

OFBCBC2BH

∴∠BOF=∠COF

OAOFOCAF

∴∠AOC=∠COF

∴∠AOC=∠COF=∠BOF60°

RtBOH中,sinBOH

AB6

OB3

BH

BC2BH3

2)如图2,连结BF

AFOC,垂足为点D

ADDF

又∵OAOB

ODBFBF2OD2x

y

3)△AOD和△CDE相似,分两种情况:①当∠DCE=∠DOA时,ABCB,不符合题意,舍去.

②当∠DCE=∠DAO时,连结OF

OAOFOBOC

∴∠OAF=∠OFA,∠OCB=∠OBC

∵∠DCE=∠DAO

∴∠OAF=∠OFA=∠OCB=∠OBC

∵∠AOD=∠OCB+OBC2OAF

∴∠OAF30°

OD

即线段OD的长为

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