【题目】如图,已知AB是半圆O的直径,AB=6,点C在半圆O上.过点A作AD⊥OC,垂足为点D,AD的延长线与弦BC交于点E,与半圆O交于点F(点F不与点B重合).
(1)当点F为的中点时,求弦BC的长;
(2)设OD=x,=y,求y与x的函数关系式;
(3)当△AOD与△CDE相似时,求线段OD的长.
【答案】(1)3;(2)y=;(3)
【解析】
(1)连结OF,交BC于点H.得出∠BOF=∠COF.则∠AOC=∠COF=∠BOF=60°,可求出BH,BC的长;
(2)连结BF.证得OD∥BF,则,即,得出,则得出结论;
(3)分两种情况:①当∠DCE=∠DOA时,AB∥CB,不符合题意,舍去,②当∠DCE=∠DAO时,连结OF,证得∠OAF=30°,得出OD=,则答案得出.
解:(1)如图1,连结OF,交BC于点H.
∵F是中点,
∴OF⊥BC,BC=2BH.
∴∠BOF=∠COF.
∵OA=OF,OC⊥AF,
∴∠AOC=∠COF,
∴∠AOC=∠COF=∠BOF=60°,
在Rt△BOH中,sin∠BOH=,
∵AB=6,
∴OB=3,
∴BH=,
∴BC=2BH=3;
(2)如图2,连结BF.
∵AF⊥OC,垂足为点D,
∴AD=DF.
又∵OA=OB,
∴OD∥BF,BF=2OD=2x.
∴,
∴,
即,
∴,
∴y=.
(3)△AOD和△CDE相似,分两种情况:①当∠DCE=∠DOA时,AB∥CB,不符合题意,舍去.
②当∠DCE=∠DAO时,连结OF.
∵OA=OF,OB=OC,
∴∠OAF=∠OFA,∠OCB=∠OBC.
∵∠DCE=∠DAO,
∴∠OAF=∠OFA=∠OCB=∠OBC.
∵∠AOD=∠OCB+∠OBC=2∠OAF,
∴∠OAF=30°,
∴OD=.
即线段OD的长为.
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【题目】如图,矩形纸片ABCD中,已知AD =8,折叠纸片使AB边与对角线AC
重合,点B落在点F处,折痕为AE,且EF=3,则AB的长为( )
A. 3 B. 4
C. 5 D. 6
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【题目】如图,某中学数学活动小组在学习了“利用三角函数测高”后,选定测量小河对岸一幢建筑物BC的高度,他们先在斜坡上的D处,测得建筑物顶端B的仰角为30°.且D离地面的高度DE=5m.坡底EA=30m,然后在A处测得建筑物顶端B的仰角是60°,点E,A,C在同一水平线上,求建筑物BC的高.(结果用含有根号的式子表示)
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【题目】如图,点在反比例函数的图象上,点在反比例函数的图象上,且,线段交反比例函数的图象于另一点,连结.若点为的中点,,则的值为_________.
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【题目】小明学习完《相似三角形》一章后,发现了一个有趣的结论:在两个不相似的直角三角形中,分别存在经过直角顶点的一条直线,把直角三角形分成两个小三角形后,如果第一个直角三角形分割出来的一个小三角形与第二个直角三角形分割出来的一个小三角形相似,那么分割出来的另外两个小三角形也相似.他把这样的两条直线称为这两个直角三角形的相似分割线.如图1、图2,直线CG、DH分别是两个不相似的Rt△ABC和Rt△DEF的相似分割线,CG、DH分别与斜边AB、EF交于点G、H,如果△BCG与△DFH相似,AC=3,AB=5,DE=4,DF=8,那么AG=_____.
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【题目】俄罗斯足球世界杯点燃了同学们对足球运动的热情,某学校划购买甲、乙两种品牌的足球供学生使用.已知用1000 元购买甲种足球的数量和用1600元购买乙种足球的数量相同,甲种足球的单价比乙种足球的单价少30元.
(1)求甲、乙两种品牌的足球的单价各是多少元?
(2)学枝准备一次性购买甲、乙两种品牌的足球共25个,但总费用不超过1610元,那么这所学校最多购买多少个乙种品牌的足球?
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【题目】已知三角形ABC,AD为BC边中线,P为BC上一动点,过点P作AD的平行线,交直线AB或延长线于点Q,交CA或延长线于点R.
(1)当点P在BD上运动时,过点Q作BC的平行线交AD于E点,交AC于F点,求证:QE=EF;
(2)当点P在BC上运动时,求证:PQ+PR为定值.
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【题目】⑴ 问题发现
⑴ 如图1,△ABC和△CDE均为等边三角形,直线AD和直线BE交于点F.
填空:①的度数是________;②线段AD,BE之间的数量关系为________;
⑵ 类比探究
如图2,△ABC和△CDE均为等腰直角三角形,,,,直线AD和直线BE交于点F.请判断的度数及线段AD,BE之间的数量关系,并说明理由.
⑶ 解决问题
如图3,在△ABC中,,,,点D在AB边上,于点E,,将△ADE绕着点A在平面内旋转,请直接写出直线DE经过点B时,点C到直线DE的距离.
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【题目】如图为二次函数y=ax2+bx+c的图象,在下列说法中:①ac<0;②方程ax2+bx+c=0的根是x1=﹣1,x2=3;③a+b+c<0;④当x>1时,y随x的增大而减小;⑤2a﹣b=0;⑥b2﹣4ac>0.下列结论一定成立的是( )
A. ①②④⑥ B. ①②③⑥ C. ②③④⑤⑥ D. ①②③④
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