Question

【题目】已知三角形ABC，AD为BC边中线，P为BC上一动点，过点P作AD的平行线，交直线AB或延长线于点Q，交CA或延长线于点R．

（1）当点P在BD上运动时，过点Q作BC的平行线交AD于E点，交AC于F点，求证：QE＝EF；

（2）当点P在BC上运动时，求证：PQ+PR为定值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析

【解析】

（1）根据平行线QF∥BC，可以推知△AQE∽△ABD，△AEF∽△ADC；然后根据相似三角形的对应边成比例可求得；再根据已知条件“AD为BC边中线”来证明QE=EF；
（2）分类讨论：
①当点P与点B（或点C）重合时，AD为△B（P）RC（或△C（P）BQ）的中位线，PQ+PR=2AD；
②当点P在BD上（不与点B重合）运动时，由（1）证明可知，AE为△RQF的中位线，PQ+PR=2AD；
③当点P在CD上（不与点C重合）运动时，PQ+PR=2AD．

（1）证明：∵QF∥BC，

∴△AQE∽△ABD，△AEF∽△ADC．

∴，

∵BD＝DC，

∴QE＝EF．

（2）解：当点P与点B（或点C）重合时，AD为△B（P）RC（或△C（P）BQ）的中位线，

∴PQ+PR＝2AD．

当点P在BD上（不与点B重合）运动时，由（1）证明可知，AE为△RQF的中位线，

∴RQ＝2AE．

∵QF∥BC，PQ∥AD，

∴四边形PQED为平行四边形．

∴PQ＝DE，

∴PQ+PR＝2DE+QR＝2DE+2AE＝2AD．

同理可证，当点P在CD上（不与点C重合）运动时，

PQ+PR＝2AD．

∴P在BC上运动时，PQ+PR为定值，

即PQ+PR＝2AD．