Question

【题目】已知等边△ABC的重心为G，△DEF与△ABC关于点G成中心对称，将它们重叠部分的面积记作S1，△ABC的面积记作S2，那么的值是_____

Answer 1

【答案】

【解析】

如图，根据点G是等边△ABC的重心，得到AD垂直平分BC，AD是∠BAC的角平分线，根据中心对称的性质得到△DEF≌△ABC，AG＝DG，EF∥BC，推出△AQH是等边三角形，得到AQ＝HQ＝AH，求得它们重叠部分为边长＝QH的正六边形，设AB＝3a，则QH＝a，根据等边三角形的面积即可得到结论．

解：如图，

∵点G是等边△ABC的重心，

∴AD垂直平分BC，AD是∠BAC的角平分线，

∴AG＝2GN，

设AB＝3a，则AN＝×3a＝a，

∵△DEF与△ABC关于点G成中心对称，

∴△DEF≌△ABC，AG＝DG，EF∥BC，

∴∠AQH＝∠ABC＝∠AHQ＝∠ACB＝60°，

∴△AQH是等边三角形，

∴AQ＝HQ＝AH＝AB＝a，

∴AP＝a，

∴它们重叠部分为边长＝QH的正六边形，

∴S1＝，S2＝ ，

∴＝＝，

故答案为：．