Question

【题目】如图，已知二次函数y＝x2﹣2x+m的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，直线AC交二次函数图象的对称轴于点D，若点C为AD的中点．

（1）求m的值；

（2）若二次函数图象上有一点Q，使得tan∠ABQ＝3，求点Q的坐标；

（3）对于（2）中的Q点，在二次函数图象上是否存在点P，使得△QBP∽△COA？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）m=﹣3；（2）Q（﹣4，21）或（2，﹣3）；（3）不存在，理由见解析

【解析】

（1）函数的对称轴为：x=1，点C为AD的中点，则点A（-1，0），即可求解；
（2）tan∠ABQ=3，点B（3，0），则AQ所在的直线为：y=±3x（x-3），即可求解；
（3）分点Q（2，-3）、点Q（-4，21）两种情况，分别求解即可．

（1）设对称轴交x轴于点E，直线AC交抛物线对称轴于点D，

函数的对称轴为：x＝1，点C为AD的中点，则点A（﹣1，0），

将点A的坐标代入抛物线表达式并解得：m＝﹣3，

故抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3…①；

（2）tan∠ABQ＝3，点B（3，0），

则AQ所在的直线为：y＝±3（x﹣3）…②，

联立①②并解得：x＝﹣4或3（舍去）或2，

故点Q（﹣4，21）或（2，﹣3）；

（3）不存在，理由：

△QBP∽△COA，则∠QBP＝90°

①当点Q（2，﹣3）时，

则BP的表达式为：y＝﹣（x﹣3）…③，

联立①③并解得：x＝3（舍去）或﹣，故点P（﹣），

此时BP：PQ≠OA：AC，故点P不存在；

②当点Q（﹣4，21）时，

同理可得：点P（﹣），

此时BP：PQ≠OA：OB，故点P不存在；

综上，点P不存在．