Question

如图，△ABC中，AD是BC边上的高，CE是AB边上的中线，且DC=AE，G是CE的中点，连结DG．
（1）求证：DG⊥CE；
（2）作∠BEC的角平分线交BC于F，求证：BE+BF=EC．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：（1）连接DE，易证AE=DE，即可求得CD=DE，根据等腰三角形底边三线合一性质即可解题；
（2）延长CB到H使BH=BE，连接EH，易证AE=BE=DE=DC和∠CDE=∠EBH，即可证明△CDE≌△EBH，可得∠DCE=∠BEH，EC=EH，再根据EF是∠BEC的角平分线，可求得∠EFH=∠FEH，即可求得EH=FH，即可解题．

解答：证明：（1）连接DE，

∵RT△ABD中，E是AB中点，
∴AE=DE，
∵CD=AE，
∴CD=DE，
∵G是CE中点，
∴DG⊥CE；
（2）延长CB到H使BH=BE，连接EH，

∵AD是BC边上的高，CE是AB边上的中线，
∴RT△ADB中AE=BE=DE，
∵DC=AE，
∴AE=BE=DE=DC，
∴∠BDE=∠DBE，
∵∠BDE+∠CDE=∠DBE+∠EBH=180°，
∴∠CDE=∠EBH，
在△CDE和△EBH中，

BE=CD ∠CDE=∠EBH DE=BG

，
∴△CDE≌△EBH（SAS），
∴∠DCE=∠BEH，EC=EH，
∵∠EFH=∠DCE+∠CEF，∠FEH=∠BEH+∠BEF，
∵EF是∠BEC的角平分线，
∴∠CEF=∠BEF，
∴∠EFH=∠FEH，
∴EH=FH，
∵FH=BH+BF=BE+BF，
∴BE+BF=EC．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质，考查了等腰三角形底边三线合一的性质，本题中求证△CDE≌△EBH是解题的关键．