Question

【题目】在平面直角坐标系中，如果点P 的横坐标和纵坐标相等，则称点P为和谐点。

（1）求函数的图像上和谐点的坐标；

（2）若二次函数y＝ax2+4x+c（a≠0）的图象上有且只有一个和谐点（，），当0≤x≤m时，函数y＝ax2+4x+c﹣（a≠0）的最小值为﹣3，最大值为1，则m的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）2≤m≤4

【解析】

（1）根据和谐点的横坐标与纵坐标相同，设和谐点的坐标为（a,a）,代入可得关于a的方程，解方程可得答案．
（2）根据和谐点的概念令ax2+4x+c=x，即ax2+3x+c=0，由题意，△=32-4ac=0，即4ac=9，方程的根为＝，从而求得a=-1，c＝，所以函数y=ax2+4x+c-=-x2+4x-3，根据函数解析式求得顶点坐标与纵坐标的交点坐标，根据y的取值，即可确定x的取值范围．

（1）设和谐点的坐标为（a,a），则a=-2a+1

解得：a=，

∴函数的图像上和谐点的坐标为.

（2）令ax2+4x+c＝x，即ax2+3x+c＝0，

由题意，△＝32﹣4ac＝0，即4ac＝9，

又方程的根为，

解得a＝﹣1，c＝．

故函数y＝ax2+4x+c﹣＝﹣x2+4x﹣3，

如下图，该函数图象顶点为（2，1），与y轴交点为（0，﹣3），由对称性，该函数图象也经过点（4，﹣3）．

由于函数图象在对称轴x＝2左侧y随x的增大而增大，在对称轴右侧y随x的增大而减小，且当0≤x≤m时，函数y＝﹣x2+4x﹣3的最小值为﹣3，最大值为1，

∴2≤m≤4.