Question

【题目】如图所示，在坐标平面内，点O是坐标原点，A（0，6）、B（2，0），且∠OBA＝60°，将△OAB沿直线AB翻折，得到△CAB，点O与点C对应。

（1）求点C的坐标；

（2）动点F从点O出发，以2个单位长度/秒的速度沿折线O—A—C向终点C运动，设△FOB的面积为S（S≠0），点F的运动时间为t秒，求S与t的关系式，并直接写出t的取值范围；

（3）在（2）的条件下，过点B作x轴垂线，交AC于点E，在点F的运动过程中，当t为何值时，△BEF是以BE为腰的等腰三角形？

Answer 1

【答案】（1）C(3,3)；(2)当0<t3时，S=；当3<t6时，S= (3) t=1或t=3时，△BEF是以BE为腰的等腰三角形.

【解析】

（1）连接OC，过C点作CH⊥x轴于H点，易证△OAC是等边三角形，则OC=OA，在直角△OCH中，求得CH和OH，则C的坐标即可求得；

（2）分成当0<t≤3和3<t≤6两种情况，利用三角形的面积公式即可求解；

（3）分B是顶角顶点和E是顶角顶点两种情况进行讨论．

(1)连接OC，过C点作CH⊥x轴于H点

∵折叠△OAB，

∴OA=AC,∠OBA=∠CBA=60°,OB=CB,∠CBH=60°

∴△OAC是等边三角形

∴∠BCH=30°

∴BH=BC=×2=,OH=2+=3，

∵OC=OA=6,∠COH=30°

∴CH=×6=3.

∴C(3,3)；

(2)当0<t3时：

OF=2t,S=；

当3<t6时：点F在AC上，

过点F作FG⊥y轴于G，连结OF，BF，

由运动知，AF＝2t6，

由折叠知，∠OAC＝2∠OAB＝60°

∴AG＝t3，OG＝6（t3）＝9t，

S＝OB×OG＝＝9-t；

(3)如图

∵BE∥OA

∴∠ABE=∠OAB=30°

∴∠EBC=30°

∴CE=BE，BE=AE

∴BE=4.

当E是顶角顶点时，

∵∠ABE=30°,∠BAC=30°，则当F运动到A点时，△BEF为等腰三角形，即t=3；

当B是顶角顶点时,即BF=BE时,△BOF≌△BCE，

∴OF=CE=2

∴t=1.

此时，△BEF为等边三角形。

综上所述，t=1或t=3时，△BEF是以BE为腰的等腰三角形.