Question

如图，已知△ABC是边长为6的等边三角形，点O在边AB上，⊙O过点B且分别与AB，BC相交于点D、E，过点E的切线与AC相交于点F．
（1）求证：EF⊥AC；
（2）当⊙O的半径为2时，求EF的长．

Answer 1

考点：切线的性质

专题：

分析：（1）先求出AC∥OE，根据切线的性质推出EF⊥OE，即可得出答案；
（2）求出等边三角形OBE，求出BE，求出CE，解直角三角形求出即可．

解答：（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，
∵OE=OB，
∴∠OEB=∠B=60°，
∴∠OEB=∠C=60°，
∴AC∥OE，
∵⊙O切EF于E，
∴OE⊥EF，
∴EF⊥AC；

（2）解：∵OB=OE，∠B=60°，
∴△OBE是等边三角形，
∴BE=OB=OE=2，
∵BC=6，
∴CE=6-2=4，
在Rt△EFC中，∠EFC=90°，∠C=60°，
∴EF=CE×sin60°=4×sin60°=2

3

．

点评：本题考查了切线的性质，平行线的性质和判定，解自三角形，等边三角形的性质的应用，综合运用性质进行推理和计算是解此题的关键．