Question

1．如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B、C，PC=2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E，证明：
（1）BE=EC；
（2）AD•DE=2PB²．

Answer 1

分析 （1）连接OE，OA，证明OE⊥BC，于是证得E是$\widehat{BC}$的中点，进而证得结论；
（2）利用切割线定理证得PD=2PB，PB=BD，然后根据相交弦定理即可得到结论．

解答 证明：（1）连接OA，OE，则∠OAE=∠OEA，∠OAP=90°，
∵PC=2PA，D为PC的中点，
∴PA=PD，
∴∠PAD=∠CDE，
∴∠OEA+∠CDE=∠OAE+∠PAD=90°，
∴OE⊥BC，
∴E是$\widehat{BC}$的中点，
∴BE=EC；

（2）∵PA是⊙O的切线，
根据切割线定理得：PA²=PB•PC，
∵PC=2PA，
∴PA=2PB，
∴PD=2PB，
∴PB=DB，
∴BD•DC=PB•2PB，
根据相交弦定理得：BD•DC=AD•DE，
∴AD•DE=2PB²．

点评 本题考查了切线的性质，切割线定理，相交弦定理，垂径定理，正确的作出辅助线是解题的关键．