如图.直角梯形ABCD中.AD∥BC.∠ABC=90°.已知AD=3.BC=6.AB=3.正方形BEFG内接于△ABC.点E在BC边上.点F在对角线AC上.点G在AB边上．(l)求正方形BEFG的边长,问中的正方形BEFG沿BC向右平移.记平移中的正方形BEFG为正方形B′EFG.当点B′与点C重合时停止平移.设平移的距离为t．①当t= 时.正方形B′EFG的顶点F落在CD上.� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，已知AD=3，BC=6，AB=3，正方形BEFG内接于△ABC，点E在BC边上，点F在对角线AC上，点G在AB边上．
（l）求正方形BEFG的边长；
（2）将（l）问中的正方形BEFG沿BC向右平移，记平移中的正方形BEFG为正方形B′EFG，当点B′与点C重合时停止平移，设平移的距离为t．
①当t=

时，正方形B′EFG的顶点F落在CD上，此时点G

（填”在”或”不在”）直线AC上；
②在上述平移过程中，设正方形B′EFG与△ADC重叠部分的面积为S，求S与t之间的函数关系式以及写明自变量t的取值范围．

考点：几何变换综合题

专题：

分析：（1）证明△AGF∽△ABC，然后根据相似三角形的对应边的比相等即可求解；
（2）①根据△CGF∽△CDA，求得FG的长，据此即可判断；
②分0≤t≤2，2＜t≤4和4＜t≤6三种情况进行讨论，根据三角形的面积公式即可求得函数的解析式．

解答：解：（1）如图①，

设正方形BEFG的边长为x，则BG=GF=x，AG=3-x，
∵正方形BEFG内接于△ABC，
∴GF∥BC，
∴△AGF∽△ABC，
∴

．
∵GF=x，BC=6，AG=3-x，AB=3，
∴

3-x

，
解得：x=2；

（2）①∵GF∥BC，

∴

，
又∵FG∥AD，
∴△CGF∽△CDA，
∴

，
则FG=2．
又∵正方形的边长是2，
∴点G在AC上；

②如图②，设AC交EF、FG于点M、N，
则FN=t，
∵GF∥BC
∴∠FNM=∠ACB，
∴tan∠FNM=

=tan∠ACB=

∴FM=

FN=

t，
∴S=S_△FNM=

FM•FN=

t•

t² （0≤t≤2）；

如图③，设AC交EF于点M，交B′G于点H，
设CD交EF、FG于点P、Q，

则FN=t，FQ=NG=t-2，同上知，FM=

t，
GH=

（t-2），作DT⊥BC于T，则四边形ABTD为矩形，
∴DT=AB=3，
BT=AD=3，
∴TC=BC-BT=6-3=3，
∴TC=DT，
∴∠DCB=45°，
∵GF∥BC
∴∠FQP=∠DCB=45°，
∴FP=FQ=t-2，
∴S=S_△FNM-S_△NGH-S_△FPQ=

t²-

（t-2）•

（t-2）-

×（t-2）²
=-

t²+3t-3 （2＜t≤4）；
如图④，设AC交FG、B′G于点N、H，CD交FG于点Q，交B′G于点W，

同图③中结论，NG=t-2，GH=

（t-2），
∠FQC=∠DGB′=45°，
∴WG=GQ=t-2-2=t-4，
WH=GH-GW=

（t-2）-（ t-4）=3-

t
又∵B′C=6-t．
∴S=S_△HWC=

WH•B′C=

（3-

t）×（6-t）
=

t²-3t+9（4＜t≤6）．

点评：本题考查了图形的平移变换，是三角形的面积与函数的综合题，正确对x的范围进行分类，正确利用三角形的面积公式求解是关键．

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