【题目】如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=2,BC=4,点P在边BC上,联结AP,将△ABP绕着点A旋转,使得点P与边AC的中点M重合,点B的对应点是点B′,则BB′的长等于_____.
【答案】.
【解析】
如图,延长AB'交BC于E,过点B'作B'D⊥AB于点D,由勾股定理可求AC的长,由旋转的性质可求AP=AM=,∠PAB=∠CAE,AB=AB'=2,通过证明△ABP∽△CBA,可得∠PAB=∠C,可得CE=AE,由勾股定理可求CE,BE的长,由相似三角形的性质可求B'D,BD的长,即可求解.
解:如图,延长AB'交BC于E,过点B'作B'D⊥AB于点D,
∵∠ABC=90°,AB=2,BC=4,
∴AC=2,
∵点M是AC中点,
∴AM=,
∵将△ABP绕着点A旋转,使得点P与边AC的中点M重合,
∴AP=AM=,∠PAB=∠CAE,AB=AB'=2,
∵AP2=AB2+PB2,
∴PB=1,
∵,且∠ABP=∠ABC=90°,
∴△ABP∽△CBA,
∴∠PAB=∠C,
∴∠C=∠CAE,
∴CE=AE,
∵AE2=AB2+BE2,
∴CE2=4+(4﹣CE)2,
∴CE=AE=,
∴BE=,
∵B'D∥BC,
∴△AB'D∽△AEB,
∴,
∴,
∴AD=,B'D=,
∴BD=,
∴BB'==,
故答案为:.
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠ABC=30°,AC=2,将Rt△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE,则BC边扫过图形的面积为_____.
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【题目】如图,在平行四边形ABCD中,点E在BC边上,点F在DC的延长线上,且∠DAE=∠F.
(1)求证:△ABE∽△ECF;
(2)若AB=5,AD=8,BE=2,求FD的长.
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【题目】如图,AB是⊙O的直径,弦DE垂直半径OA,C为垂足,DE=6,连接DB,,过点E作EM∥BD,交BA的延长线于点M.
(1)求的半径;
(2)求证:EM是⊙O的切线;
(3)若弦DF与直径AB相交于点P,当∠APD=45°时,求图中阴影部分的面积.
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【题目】如图,从灯塔处观测轮船的位置,测得轮船在灯塔北偏西的方向,轮船在灯塔北偏东的方向,且海里,海里,已知,求、两艘轮船之间的距离.(结果保留根号)
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【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=x2+mx+n经过点B(6,1),C(5,0),且与y轴交于点A.
(1)求抛物线的表达式及点A的坐标;
(2)点P是y轴右侧抛物线上的一点,过点P作PQ⊥OA,交线段OA的延长线于点Q,如果∠PAB=45°.求证:△PQA∽△ACB;
(3)若点F是线段AB(不包含端点)上的一点,且点F关于AC的对称点F′恰好在上述抛物线上,求FF′的长.
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【题目】如图,在一个长40m,宽30m的长方形小操场上,王刚从A点出发,沿着A→B→C的路线以3m/s的速度跑向C地.当他出发4s后,张华有东西需要交给他,就从A地出发沿王刚走的路线追赶,当张华跑到距B地m的D处时,他和王刚在阳光下的影子恰好重叠在同一条直线上.此时,A处的小旗在阳光下的影子也恰好落在对角线AC上.求:
(1)他们的影子重叠时,两人相距多少米(DE的长)?
(2)张华追赶王刚的速度是多少?
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【题目】如图,在中,,点是中点.连接.作,垂足为,的外接圆交于点,连接.
(1)求证:;
(2)过点作圆的切线,交于点.若,求的值;
(3)在(2)的条件下,当时,求的长.
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【题目】某商店购进一批单价为16元的日用品,销售一段时间后,为了获取更多利润, 商店决定提高销售价格,经试验发现,若按每件20元的价格销售时,每月能卖360件; 若按每件25元的价格销售时,每月能卖210件.假定每月销售件数y(件)是价格x( 元/件)的一次函数.
(1)试求y与x之间的函数关系式;
(2)在商品不积压,且不考虑其他因素的条件下,问销售价格为多少时,才能使每月获得最大利润?每月的最大利润是多少?(总利润=总收入-总成本).
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