Question

11．如图，已知直线y=-2x+8与x轴、y轴分别交于点A、C，以OA、OC为边在第一象限内作长方形OABC．
（1）求点A、C的坐标；
（2）将△ABC对折，使得点A的与点C重合，折痕交AB于点D，求直线CD的解析式；
（3）在（2）的条件下，坐标平面内是否存在点P（除点B外），使得△APC与△ABC全等？若存在，直接写出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）已知直线y=-2x+8与x轴、y轴分别交于点A、C，即可求得A和C的坐标；
（2）根据题意可知△ACD是等腰三角形，算出AD长即可求得D点坐标，最后即可求出CD的解析式；
（3）将点P在不同象限进行分类，根据全等三角形的判定方法找出所有全等三角形，找出符合题意的点P的坐标．

解答 解：（1）令y=0，则-2x+8=0，解得x=4，
∴A（4，0），
令x=0，则y=8，
∴C（0，8）；
（2）由折叠可知：CD=AD，
设AD=x，则CD=x，BD=8-x，
由题意得，（8-x）²+4²=x²，
解得x=5，
此时AD=5，
∴D（4，5），
设直线CD为y=kx+8，
把D（4，5）代入得5=4k+8，解得k=-$\frac{3}{4}$，
∴直线CD的解析式为y=-$\frac{3}{4}$x+8；
（3）①当点P与点O重合时，△APC≌△CBA，此时P（0，0）
②当点P在第一象限时，如图1，
由△APC≌△CBA得∠ACP=∠CAB，
则点P在直线CD上．过P作PQ⊥AD于点Q，
在Rt△ADP中，
AD=5，AP=BC=4，PD=BD=8-5=3，
由AD×PQ=DP×AP得：5PQ=3×4，
∴PQ=$\frac{12}{5}$，
∴x_P=4+$\frac{12}{5}$=$\frac{32}{5}$，把x=$\frac{32}{5}$代入y=-$\frac{3}{4}$x+8得y=$\frac{16}{5}$，
此时P（$\frac{32}{5}$，$\frac{16}{5}$）
③当点P在第二象限时，如图2，
同理可求得：PQ=$\frac{12}{5}$，
在RT△PCQ中，CQ=$\sqrt{P{C}^{2}-P{Q}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}-（{\frac{12}{5}）}^{2}}$=$\frac{16}{5}$，
∴OQ=8-$\frac{16}{5}$=$\frac{24}{5}$，
此时P（-$\frac{12}{5}$，$\frac{24}{5}$），
综上，满足条件的点P有三个，分别为：（0，0），（$\frac{32}{5}$，$\frac{16}{5}$），（-$\frac{12}{5}$，$\frac{24}{5}$）．

点评 本题是一次函数的综合题，主要考查了折叠的性质，一次函数图象及其性质，待定系数法求一次函数的解析式，等腰三角形的性质以及全等三角形的判定和性质，分类讨论思想的运用是解题的关键．