Question

18．对x，y定义一种新运算T，规定：T（x，y）=$\frac{ax+by}{3x+y}$（其中a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：T（0，1）=$\frac{a×0+b×1}{3×0+1}$=b．
（1）已知T（1，-1）=-$\frac{1}{2}$，T（4，2）=1．
①求a，b的值；
②若关于m的不等式组$\left\{\begin{array}{l}{T（2m，5-6m）≤4}\\{T（m，2-3m）＞p}\end{array}\right.$恰好有5个整数解，求实数p的取值范围；
（2）若T（x，y）=T（y，x）对任意实数x，y都成立（这里T（x，y）和T（y，x）均有意义），则a，b应满足怎样的关系式？

Answer 1

分析 （1）①已知两对值代入T中计算求出a与b的值；
②根据题中新定义化简已知不等式，根据不等式组恰好有5个整数解，求出p的范围即可；
（2）由T（x，y）=T（y，x）列出关系式，整理后即可确定出a与b的关系式．

解答 解：（1）①根据题意得：T（1，-1）=$\frac{a-b}{3-1}$=-$\frac{1}{2}$，即a-b=-1，①
T=（4，2）=$\frac{4a+2b}{12+2}$=1，即2a+b=7，②
联立①②，解得：a=2，b=3；
②根据题意得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{4m+3（5-6m）}{6m+5-6m}≤4}\\{\frac{2m+3（2-3m）}{3m+2-3m}＞p}\end{array}\right.$，
由①得：m≥-$\frac{5}{14}$；
由②得：m＜$\frac{6-2p}{7}$，
∴不等式组的解集为-$\frac{5}{14}$≤m＜$\frac{6-2p}{7}$，
∵不等式组恰好有5个整数解，即m=0，1，2，3，4．
∴4＜$\frac{6-2p}{7}$≤5，
解得：-$\frac{29}{2}$≤p＜-11；

（2）由T（x，y）=T（y，x），得到$\frac{ax+by}{3x+y}$=$\frac{ay+bx}{3y+x}$，
整理得：（x²-y²）（2b-a）=0，
∵T（x，y）=T（y，x）对任意实数x，y都成立，
∴2b-a=0，即a=2b．

点评 此题考查了分式的混合运算，解二元一次方程组，以及一元一次不等式组的整数解，弄清题中的新定义是解本题的关键．