Question

2．如图，∠ABD=∠ACD，∠ADB=90°-$\frac{1}{2}$∠BDC，求证：△ABC是等腰三角形．

Answer 1

分析 由∠ABD=∠ACD，即可证得ABCD四点共圆，然后根据同圆中，同弧所对的圆周角相等，即可证得∠ADB=∠ACB，∠BDC=∠BAC，又由∠ADB=90°-$\frac{1}{2}$∠BDC，即可证得∠ABC=∠ACB，即可证得△ABC是等腰三角形．

解答 证明：∵∠ABD=∠ACD，
∴A、B、C、D四点共圆，
∴∠ADB=∠ACB，∠BDC=∠BAC．
∵∠ADB=90°-$\frac{1}{2}$∠BDC，
∴∠ACB=90°-$\frac{1}{2}$∠BAC，
∴2∠ACB+∠BAC=180°．
又∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°
∴∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形

点评 本题考查等腰三角形的判定，先根据题意得出A、B、C、D四点共圆是正确解答本题的关键．