Question

【题目】如图，抛物线交轴于A（﹣3，0），B两点，与y轴交于点C，连接AC，BC．点P是线段BC上方抛物线上的一个动点，点P的横坐标为．

（1）求此抛物线的表达式；

（2）若点，求MA+MB的最小值，并求出此时点M的坐标．

（3）求面积的最大值，并求出此时点P的坐标．

Answer 1

【答案】（1）；（2）MA+MB的最小值为；；（3）△PBC面积的最大值为；P．

【解析】

（1）把A、C两点坐标代入列方程组求出a、c的值，即可得答案；

（2）由点M坐标可知点M在直线y=2上，令y=0，可得出点B坐标，作点B关于直线的对称点B′，可得B′坐标，连接BM、AB′，根据轴对称的性质可得BM=B′M，可得MA+MB的最小值为AB′，利用勾股定理可求出AB′的长，根据A、B′坐标，利用待定系数法可得直线AB′的解析式，把y=2代入即可得点M坐标；

（3）过P作PQ轴交BC于Q，根据B、C坐标，利用待定系数法可求出直线BC的解析式，设，把m代入BC解析式可用m表示出PQ的长，根据S△PBC=PQ·OB可用m表示出△PBC的面积，根据二次函数的性质即可得答案．

（1）把A（﹣3，0），C，代入得，

解得：

∴抛物线的表达式为．

（2）∵，

∴点M在直线上，

令得

，

作点B关于直线的对称点B′，

∴BM=B′M，

∴MA+MB的最小值为线段AB′的长度，

∵B（4，0），

∴B′(4，4)，

∴AB′，

∴MA+MB的最小值为，

设直线AB′的解析式为，

∵A（-3，0），B′（4，4），

∴，

解得，

∴直线AB′的解析式为，

当时，，

解得：，

∴．

（3）如图，过P作PQ轴交BC于Q，

设直线BC的解析式为，

∵，C，

∴，

解得，

∴直线BC的解析式为，

∵P在抛物线上，且在BC上方，

∴设，

∴，

∴，

∴S△PBC=PQ·OB=，

∵，

∴当时，S△PBC的最大值为，

当m=2时，，

∴P．