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【题目】如图,正方形ABCD的边长是3,BP=CQ,连接AQ,DP交于点O,并分别与边CD,BC交于点F,E,连接AE,下列结论:①AQ⊥DP;②OA2=OEOP;③S△AOD=S四边形OECF;④当BP=1时,tan∠OAE=,其中正确结论的个数是(  )

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

【答案】C

【解析】∵四边形ABCD是正方形,

∴AD=BC,∠DAB=∠ABC=90°,

∵BP=CQ,

∴AP=BQ,

在△DAP与△ABQ中,

∴△DAP≌△ABQ,

∴∠P=∠Q,

∵∠Q+∠QAB=90°,

∴∠P+∠QAB=90°,

∴∠AOP=90°,

∴AQ⊥DP;

故①正确;

∵∠DOA=∠AOP=90°,∠ADO+∠P=∠ADO+∠DAO=90°,

∴∠DAO=∠P,

∴△DAO∽△APO,

∴AO2=ODOP,

∵AE>AB,

∴AE>AD,

∴OD≠OE,

∴OA2≠OEOP;故②错误;

在△CQF与△BPE中

∴△CQF≌△BPE,

∴CF=BE,

∴DF=CE,

在△ADF与△DCE中,

∴△ADF≌△DCE,

∴S△ADF﹣S△DFO=S△DCE﹣S△DOF

即S△AOD=S四边形OECF;故③正确;

∵BP=1,AB=3,

∴AP=4,

∵△AOP∽△DAP,

∴BE=,∴QE=

∵△QOE∽△PAD,

∴QO=,OE=

∴AO=5﹣QO=

∴tan∠OAE==,故④正确,

故选C.

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