【题目】如图,中,交于,平分交于,为延长线上一点,交的延长线于,的延长线交于,连接,下列结论:①;②∠AGH=∠BAE+∠ACB;③,其中正确的结论有( )个.
A.0B.1C.2D.3
【答案】D
【解析】
如图,设FG交AE延长线于P,过E作EM⊥AB于M,EN⊥AC于N,根据垂直的定义及直角三角形两锐角互余的关系即可得出∠DAE=∠F,可得①正确;根据同角的余角相等可得∠AGH=∠AED,根据外角的性质及角平分线的定义即可得出∠AGH=∠BAE+∠ACB,可得②正确,根据角平分线的性质可得EM=EN,利用三角形面积公式即可得出,可得③正确,综上即可的答案.
如图,设FG交AE延长线于P,过E作EM⊥AB于M,EN⊥AC于N,
∵,AD⊥BC,
∴∠F+∠FEP=90°,∠DAE+∠AED=90°,
∵∠AED=∠FEP,
∴∠DAE=∠F,故①正确,
∵∠DAE+∠AED=90°,∠DAE+∠AGH=90°,
∴∠AED=∠AGH,
∵AE为∠BAC的角平分线,
∴∠BAE=∠EAC,
∵∠AED=∠EAC+∠ACB,
∴∠AGH=∠BAE+∠ACB,故②正确,
∵AE是∠BAC的角平分线,EM⊥AB,EN⊥AC,
∴EM=EN,
∴S△AEB:S△AEC=AB·EM:AC·EN=AB:AC,故③正确,
综上所述:正确的结论有①②③,共3个,
故选D.
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【题目】如图,等边三角形ABC的边长是2,M是高CH所在直线上的一个动点,连接MB,将线段BM绕点B逆时针旋转60°得到BN,连接MN,则在点M运动过程中,线段MN长度的最小值是( )
A. B. 1 C. D.
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【题目】如图,正方形ABCD的边长是3,BP=CQ,连接AQ,DP交于点O,并分别与边CD,BC交于点F,E,连接AE,下列结论:①AQ⊥DP;②OA2=OEOP;③S△AOD=S四边形OECF;④当BP=1时,tan∠OAE=,其中正确结论的个数是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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【题目】如图,已知A(﹣2,0),B(4,0),抛物线y=ax2+bx﹣1过A、B两点,并与过A点的直线y=﹣x﹣1交于点C.
(1)求抛物线解析式及对称轴;
(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P,使四边形ACPO的周长最小?若存在,求出点P的坐标,若不存在,请说明理由;
(3)点M为y轴右侧抛物线上一点,过点M作直线AC的垂线,垂足为N.问:是否存在这样的点N,使以点M、N、C为顶点的三角形与△AOC相似,若存在,求出点N的坐标,若不存在,请说明理由.
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【题目】问题情境:如图①,在△ABD与△CAE中,BD=AE,∠DBA=∠EAC,AB=AC,易证:△ABD≌△CAE.(不需要证明)
特例探究:如图②,在等边△ABC中,点D、E分别在边BC、AB上,且BD=AE,AD与CE交于点F.求证:△ABD≌△CAE.
归纳证明:如图③,在等边△ABC中,点D、E分别在边CB、BA的延长线上,且BD=AE.△ABD与△CAE是否全等?如果全等,请证明;如果不全等,请说明理由.
拓展应用:如图④,在等腰三角形中,AB=AC,点O是AB边的垂直平分线与AC的交点,点D、E分别在OB、BA的延长线上.若BD=AE,∠BAC=50°,∠AEC=32°,求∠BAD的度数.
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【题目】(实验操作)如图①,在中,,现将边沿的平分线翻折,点落在边的点处;再将线段沿翻折到线段,连接.
(探究发现)若点,,三点共线,则的大小是______,的大小是________,此时三条线段,,之间的数量关系是________.
(应用拓展)如图②,将图①中满足(实验操作)与(探究发现)的的边延长至,使得,连接,直接写出的度数.
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【题目】如图,已知四边形ABCD的一组对边AD、BC的延长线相交于点E.另一组对边AB、DC的延长线相交于点F,若cos∠ABC=cos∠ADC=,CD=5,CF=ED=n,则AD的长为_____(用含n的式子表示).
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【题目】如图,中,,,,若点从点出发,以每秒的速度沿折线运动,设运动时间为秒.
备用图
(1)___________;
(2)若点恰好在的角平分线上,求此时的值:
(3)在运动过程中,当为何值时,为等腰三角形.
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