Question

【题目】（实验操作）如图①，在中，，现将边沿的平分线翻折，点落在边的点处；再将线段沿翻折到线段，连接.

（探究发现）若点，，三点共线，则的大小是______，的大小是________，此时三条线段，，之间的数量关系是________.

（应用拓展）如图②，将图①中满足（实验操作）与（探究发现）的的边延长至，使得，连接，直接写出的度数.

Answer 1

【答案】【探究发现】60°，100°，BC=BD+AD；【应用拓展】∠BCE=10°.

【解析】

探究发现：根据折叠性质可得∠ADB=∠BDA1，∠A1DC=∠CDA2，由B、D、A2在一条直线上可得∠CDA2=∠ADB，可得∠ADB=∠BDA1=∠A1DC=∠CDA2，根据平角定义可求出∠CDA2的度数即可得∠ADB的度数；根据外角性质及等腰三角形的性质即可求出∠BAC的度数；根据折叠性质可得AD=A1D=A2D，可得BD+AD=BA2，根据折叠性质可求出∠A2CB=∠BA2C，根据等腰三角形的性质即可得BC=BD+AD；应用拓展：以BC为边，在△ABC外作等边△BCD，连接AD，利用SSS可证明△ABD≌△ACD，可得∠ADB=∠ADC=∠BDC=30°，根据等腰三角形的性质可求出∠ABC=∠ACB=40°，可得∠ACD=∠BAC=100°，由AE=BC可得AE=CD，利用SAS可证明△AEC≌△CDA，可得∠AEC=∠ADC=30°，利用外角性质求出∠BCE的度数即可.

探究发现：

∵边沿的平分线翻折，点落在边的点处，

∴∠ADB=∠A1DB，

∵线段沿翻折到线段，

∴∠A1DC=∠A2DC，

∵B、D、A2三点共线，

∴∠ADB=∠A2DC，

∴∠A1DB=∠A1DC=∠A2DC，

∴∠A1DB=×180°=60°，

∴∠ADB=60°，

∵AB=AC，

∴∠ABC=（180°-∠BAC），

∵BD是∠ABC的角平分线，

∴∠ABD=∠ABC=（180°-∠BAC），

∴∠BDC=∠ABD+∠BAC=（180°-∠BAC）+∠BAC=120°，

解得：∠BAC=100°，

根据折叠性质得：∠BA1D=∠BAC=100°，AD=A1D=A2D，∠BCA=∠ACA2=40°，

∴BD+AD=BD+A2D=BA2，∠A2=∠DA2C=180°-∠BA1D=80°，∠BCA2=2∠BCA=80°，

∴∠A2=∠BCA2，

∴BC=BA2，

∴BC=BD+AD.

故答案为：60°，100°，BC=BD+AD

应用拓展：

以BC为边，在△ABC外作等边△BCD，连接AD，

∴BC=BD=CD，

∵AB=AC，BD=CD，AD=AD，

∴△ABD≌△ACD，

∴∠ADB=∠ADC=∠BDC=30°，

∵∠ACB=∠ABC=40°，△BCD是等边三角形，

∴∠DCA=∠BAC=100°，

∵AE=BC，

∴AE=CD，

在△AEC和△CDA中，，

∴△AEC≌△CDA，

∴∠AEC=∠ADC=30°，

∴∠BCE=∠ABC-∠AEC=40°-30°=10°.