【题目】如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,点D在斜边AB上,且AD=AC,过点B作BE⊥CD,交直线CD于点E.
(1)求∠BCD的度数;
(2)作AF⊥CD于点F,求证:△AFD≌△CEB;
(3)请直接写出CD与BE的数量关系(不需要证明).
【答案】(1) ∠BCD==22.5°;(2)见解析 (3) CD=2BE.
【解析】
(1)根据等腰直角三角形的性质得到∠CAB=∠CBA=45°,根据等腰三角形的性质计算即可;(2)根据全等三角形的判定证明△AFD≌△CEB即可.(3)根据全等三角形的性质证明即可.
解:(1)∵∠ACB=90°,AC=BC,
∴∠CAB=∠CBA=45°.
∵AD=AC,
∴∠ACD=∠ADC= =67.5°.
∴∠BCD=90°-67.5°=22.5°.
(2)证明:∵AD=AC,AF⊥CD,
∴CF=FD=CD,∠FAD=∠CAB=22.5°.
又∵AC=CB,∴AD=CB,
在△AFD和△CEB中,
∴△AFD≌△CEB(AAS).
(3)∵△AFD≌△CEB,
∴BE=DF,
又∵AD=AC,且AF⊥CD
∴CD=2DF,
∴CD=2BE.
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【题目】在△ABC中,BC边上的高AG平分∠BAC.
(1)如图1,求证:AB=AC.
(2)如图2,点D、E在△ABC的边BC上,AD=AE,BC=10cm,DE=6cm,求BD的长.
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【题目】如图,在△ABC中,D是BC边上的一点,AB=DB,BE平分∠ABC,交AC边于点E,连接DE.
(1)求证:△ABE≌△DBE;
(2)若∠A=100°,∠C=50°,求∠AEB的度数.
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【题目】如图,正方形ABCD的边长是3,BP=CQ,连接AQ,DP交于点O,并分别与边CD,BC交于点F,E,连接AE,下列结论:①AQ⊥DP;②OA2=OEOP;③S△AOD=S四边形OECF;④当BP=1时,tan∠OAE=,其中正确结论的个数是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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【题目】如图,在△ABC中,AB=AC=12cm,BC=9cm,点D为AB的中点.
(1)如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B向C点运动,同时点Q在线段CA上由C点向A点运动.
①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等,当经过1秒时,△BPD与△CQP是否全等,请判断并说明理由;
②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等,当点Q的运动速度为多少时,能够使△BPD≌△CPQ?
(2)若点Q以②的运动速度从点C出发,点P以原来运动速度从点B同时出发,都逆时针沿△ABC的三边运动,求经过多长时间,点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上会相遇?
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【题目】如图,已知A(﹣2,0),B(4,0),抛物线y=ax2+bx﹣1过A、B两点,并与过A点的直线y=﹣x﹣1交于点C.
(1)求抛物线解析式及对称轴;
(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P,使四边形ACPO的周长最小?若存在,求出点P的坐标,若不存在,请说明理由;
(3)点M为y轴右侧抛物线上一点,过点M作直线AC的垂线,垂足为N.问:是否存在这样的点N,使以点M、N、C为顶点的三角形与△AOC相似,若存在,求出点N的坐标,若不存在,请说明理由.
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【题目】问题情境:如图①,在△ABD与△CAE中,BD=AE,∠DBA=∠EAC,AB=AC,易证:△ABD≌△CAE.(不需要证明)
特例探究:如图②,在等边△ABC中,点D、E分别在边BC、AB上,且BD=AE,AD与CE交于点F.求证:△ABD≌△CAE.
归纳证明:如图③,在等边△ABC中,点D、E分别在边CB、BA的延长线上,且BD=AE.△ABD与△CAE是否全等?如果全等,请证明;如果不全等,请说明理由.
拓展应用:如图④,在等腰三角形中,AB=AC,点O是AB边的垂直平分线与AC的交点,点D、E分别在OB、BA的延长线上.若BD=AE,∠BAC=50°,∠AEC=32°,求∠BAD的度数.
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【题目】(实验操作)如图①,在中,,现将边沿的平分线翻折,点落在边的点处;再将线段沿翻折到线段,连接.
(探究发现)若点,,三点共线,则的大小是______,的大小是________,此时三条线段,,之间的数量关系是________.
(应用拓展)如图②,将图①中满足(实验操作)与(探究发现)的的边延长至,使得,连接,直接写出的度数.
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【题目】一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“书”、“ 香”、“ 历”、“ 城”的四个小球,除汉字不同之外,小球没有任何区别,每次摸球前先搅拌均匀.
(1)若从中任取一个球,球上的汉字刚好是 “书”的概率为__________.
(2)从中任取一球,不放回,再从中任取一球,请用树状图或列表的方法,求取出的两个球上的汉字能组成“历城”的概率.
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