Question

【题目】如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AE平分∠BAC交BC于E，BD⊥AE交AE延长线于D，DF⊥AC交AC的延长线于F，连接CD，给出四个结论：① ∠FDC＝22．5°； ② 2BD＝AE；③ AC＋CE＝AB； ④ AB－BC＝2FC．其中正确的结论有（ ） 个

A.1B.2C.3D.4

Answer 1

【答案】D

【解析】

过E作EQ⊥AB于Q，作∠ACN=∠BCD，交AD于N，过D作DH⊥AB于H，根据角平分线性质求出CE=EQ，DM=DH，根据勾股定理求出AC=AQ，AM=AH，根据等腰三角形的性质和判定求出BQ=QE，即可求出③；根据三角形外角性质求出∠CND=45°，证△ACN≌△BCD，推出CD=CN，即可求出①②；证△DCM≌△DBH，得到CM=BH，AM=AH，即可求出④．

解：如图，

∵∠ACB=90°，AE平分∠CAB，

∴CE=EQ，

∵∠ACB=90°，AC=BC，

∴∠CBA=∠CAB=45°，

∵EQ⊥AB，

∴∠EQA=∠EQB=90°，

由勾股定理得：AC=AQ，

∴∠QEB=45°=∠CBA，

∴EQ=BQ，

∴AB=AQ+BQ=AC+CE，

∴③正确；

作∠ACN=∠BCD，交AD于N，

∵∠CAD=∠CAB=22.5°=∠BAD，

∴∠ABD=90°22.5°=67.5°，

∴∠DBC=67.5°45°=22.5°=∠CAD，

∴∠DBC=∠CAD，

∵AC=BC，∠ACN=∠DCB，

∴△ACN≌△BCD，

∴CN=CD，AN=BD，

∵∠ACN+∠NCE=90°，

∴∠NCB+∠BCD=90°，

∴∠CND=∠CDA=45°，

在中，∠AFD=90°，∠FCD=22.5°，

∴∠FDA=67.5°，

∵∠FDC=∠FDA-∠CDA=22.5°，故①正确；

∴∠ACN=45°22.5°=22.5°=∠CAN，

∴AN=CN，

∴∠NCE=∠AEC=67.5°，

∴CN=NE，

∴CD=AN=EN=AE，

∵AN=BD，

∴BD=AE，

故②正确；

过D作DH⊥AB于H，

∵∠MCD=∠CAD+∠CDA=67.5°，

∠DBA=90°∠DAB=67.5°，

∴∠MCD=∠DBA，

∵AE平分∠CAB，DM⊥AC，DH⊥AB，

∴DM=DH，在△DCM和△DBH中∠M=∠DHB=90°，∠FCD=∠DBA，DF=DH，

∴△DCF≌△DBH，

∴BH=CF，由勾股定理得：AF=AH，

∴，

∴AC+AB=2AF，AC+AB=2AC+2CF，ABAC=2CF，

∵AC=CB，

∴ABCB=2CF，

∴④正确；

故答案选：D.