Question

【题目】在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以点A为圆心，AC为半径，作⊙A交AB于点D，交CA的延长线于点E，过点E作AB的平行线EF交⊙A于点F，连接AF、BF、DF

（1）求证：BF是⊙A的切线．

（2）当∠CAB等于多少度时，四边形ADFE为菱形？请给予证明．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）当∠CAB=60°时，四边形ADFE为菱形；证明见解析；

【解析】

分析（1）首先利用平行线的性质得到∠FAB=∠CAB，然后利用SAS证得两三角形全等，得出对应角相等即可；

（2）当∠CAB=60°时，四边形ADFE为菱形，根据∠CAB=60°，得到∠FAB=∠CAB=∠CAB=60°，从而得到EF=AD=AE，利用邻边相等的平行四边形是菱形进行判断四边形ADFE是菱形．

（1）证明：∵EF∥AB

∴∠FAB=∠EFA，∠CAB=∠E

∵AE=AF

∴∠EFA =∠E

∴∠FAB=∠CAB

∵AC=AF，AB=AB

∴△ABC≌△ABF

∴∠AFB=∠ACB=90°， ∴BF是⊙A的切线.

（2）当∠CAB=60°时，四边形ADFE为菱形.

理由：∵EF∥AB

∴∠E=∠CAB=60°

∵AE=AF

∴△AEF是等边三角形

∴AE=EF，

∵AE=AD

∴EF=AD

∴四边形ADFE是平行四边形

∵AE=EF

∴平行四边形ADFE为菱形.