Question

【题目】如图所示，已知抛物线经过点 A （－2，0）、 B （4，0）、 C （0，－8），抛物线 y ＝ a x 2 ＋ b x ＋ c （a≠0）与直线 y ＝ x －4交于 B ， D 两点．

（1）求抛物线的解析式并直接写出 D 点的坐标；

（2）点 P 为抛物线上的一个动点，且在直线 BD 下方，试求出△ BDP 面积的最大值及此时点 P 的坐标；

（3）点 Q 是线段 BD 上异于 B 、 D 的动点，过点 Q 作 QF ⊥ x 轴于点 F ， 交抛物线于点 G ． 当△ QDG 为直角三角形时，求点 Q 的坐标．

Answer 1

【答案】（1） (-1，-5)；（2） (，-)；（3） (2，-2)或 (3，-1)

【解析】试题分析：（1）设抛物线的解析式为y=a（x+2）（x-4），将点C的坐标代入可求得a的值，然后将y=x-4与抛物线的解析式联立求解即可；

（2）过点P作PE∥y轴，交直线AB与点E，设P（x，x2-2x-8），则E（x，x-4），则PE═-x2+3x+4，然后依据S△BDP=S△DPE+S△BPE，列出△BDP的面积与x的函数关系式，然后依据二次函数的性质求解即可；

（3）设直线y=x-4与y轴相交于点K，则K（0，-4），设G点坐标为（x，x2-2x-8），点Q点坐标为（x，x-4），先证明△QDG为等腰直角三角形，然后根据

∠QDG=90°和∠DGQ=90°两种情况求解即可．

试题解析：（1）设抛物线的解析式为y=a（x+2）（x-4），将点C的坐标代入得：-8a=-8，解得：a=1，

∴抛物线的解析式为y=x2-2x-8．

将y=x-4代入抛物线的解析式得：x2-2x-8=x-4，解得：x=4或x=-1，

将x=-1代入y=x-4得：y=-5．

∴D（-1，-5）．

（2）如图所示：

过点P作PE∥y轴，交直线AB与点E，设P（x，x2-2x-8），则E（x，x-4）．

∴PE=x-4-（x2-2x-8）=-x2+3x+4．

∴S△BDP=S△DPE+S△BPE=PE（xp-xD）+PE（xB-xE）=PE（xB-xD）=（-x2+3x+4）=-（x-）2+．

∴当x=时，△BDP的面积的最大值为．

∴P（，-）．

（3）设直线y=x-4与y轴相交于点K，则K（0，-4），设G点坐标为（x，x2-2x-8），点Q点坐标为（x，x-4）．

∵B（4，0），

∴OB=OK=4．

∴∠OKB=∠OBK=45°．

∵QF⊥x轴，

∴∠DQG=45°．

若△QDG为直角三角形，则△QDG是等腰直角三角形．

①当∠QDG=90°时，过点D作DH⊥QG于H，

∴QG=2DH，QG=-x2+3x+4，DH=x+1，

∴-x2+3x+4=2（x+1），解得：x=-1（舍去）或x=2，

∴Q1（2，-2）．

②当∠DGQ=90°，则DH=QH．

∴-x2+3x+4=x+1，解得x=-1（舍去）或x=3，

∴Q2（3，-1）．

综上所述，当△QDG为直角三角形时，点Q的坐标为（2，-2）或（3，-1）．