Question

5．如图，二次函数y=（t-1）x²+（t+1）x+2（t≠1），x=0与x=3时的函数值相等，其图象与x轴交于A、B两点，与y轴正半轴交于C点．
（1）求二次函数的解析式．
（2）在第一象限的抛物线上求点P，使得S_△PBC最大．
（3）点P是抛物线上x轴上方一点，若∠CAP=45°，求P点坐标．

Answer 1

分析 分析：（1）由x=0与x=3时的函数值相等，列方程求出t值即可求解．
（2）利用待定系数法先求出直线BC的解析式，然后过点P作y轴的平行线，交直线BC于点D，用未知数设出点P、D的坐标，即可得到线段PD的长度表达式，以PD为底、OB为高，即可得到△PBC的面积函数关系式，根据函数的性质即可求出△PBC的面积最大时，点P的坐标．
（3）利用等腰三角形两腰相等列出方程，求解

解答 解：（1）∵x=0与x=3时的函数值相等，
∴（t-1）×0²+（t+1）×0+2=（t-1）×3²+（t+1）×3+2，
解方程，得t=$\frac{1}{2}$，
把t=$\frac{1}{2}$代入二次函数y=（t-1）x²+（t+1）x+2（t≠1），
∴二次函数的解析式为：y=$-\frac{1}{2}{x}^{2}+\frac{3}{2}x+2$．
（2）如右图过点P作PD∥y轴，交BC于点D．
把y=0代入y=$-\frac{1}{2}{x}^{2}+\frac{3}{2}x+2$，得为：$-\frac{1}{2}{x}^{2}+\frac{3}{2}x+2$=0，
解，得x₁=-1，x₂=4，
∴点A（-1，0），B（4，0），
又∵C（0，2）
∴直线BC：y=$-\frac{1}{2}$x+2，
设点P（a，$-\frac{1}{2}{a}^{2}+\frac{3}{2}a+2$），
把x=a代入y=$-\frac{1}{2}$x+2，y=-$\frac{1}{2}$a+2，
∴点D的坐标为（a，-$\frac{1}{2}$a+2），
∴PD=$-\frac{1}{2}{a}^{2}+\frac{3}{2}a+2$-（-$\frac{1}{2}$a+2）=$-\frac{1}{2}{a}^{2}+2a$，
∴S_△PBC=$\frac{1}{2}PD•OB$=$\frac{1}{2}$×（$-\frac{1}{2}{a}^{2}+2a$）×4=-a²+4a=-（a-2）²+4，
当a=2时，S_△PBC有最大值，最大值为4，
所以点P的坐标（2，3），
（3）如右图，过点P作PE⊥AB于点E，
∵∠PAB=45°，根据等腰三角形的性质，EA=EP
由（2）知点P（a，$-\frac{1}{2}{a}^{2}+\frac{3}{2}a+2$），E（a，0）
∴a-（-1）=$-\frac{1}{2}{a}^{2}+\frac{3}{2}a+2$，
解这个方程，得a₁=2，a₂=-1（不合题意，舍去），
把a=2代入点P（a，$-\frac{1}{2}{a}^{2}+\frac{3}{2}a+2$），
所以当∠PAB=45°时，点P的坐标为（2，3）

点评 此题考查的内容在二次函数综合题中较为常见，主要涉及了：一次（二次）函数解析式的确定、三角形面积的解法、二次函数的应用等基础知识．