Question

已知：AB是⊙O的直径，点P在线段AB的延长线上，BP=OB=2，点Q在⊙O上，连接PQ．

（1）如图①，线段PQ所在的直线与⊙O相切，求线段PQ的长；

（2）如图②，线段PQ与⊙O还有一个公共点C，且PC=CQ，连接OQ，AC交于点D．

①判断OQ与AC的位置关系，并说明理由；

②求线段PQ的长．

Answer 1

解：（1）如图①，连接OQ．

∵线段PQ所在的直线与⊙O相切，点Q在⊙O上，

∴OQ⊥OP．

又∵BP=OB=OQ=2，

∴PQ===2，即PQ=2；

（2）OQ⊥AC．理由如下：

如图②，连接BC．

∵BP=OB，

∴点B是OP的中点，

又∵PC=CQ，

∴点C是PQ的中点，

∴BC是△PQO的中位线，

∴BC∥OQ．

又∵AB是直径，

∴∠ACB=90°，即BC⊥AC，

∴OQ⊥AC．

（3）如图②，PC•PQ=PB•PA，即PQ²=2×6，

解得PQ=2．