Question

【题目】在ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为点E，F，且BE＝DF．

（1）如图1，求证：ABCD是菱形；

（2）如图2，连接BD，交AE于点G，交AF于点H，连接EF、FG，若∠CEF＝30°，在不添加任何字母及辅助线的情况下，请直接写出图中面积是△BEG面积2倍的所有三角形．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）△ABG、△ADH、△AGH、△DFG

【解析】

（1）证明△AEB≌△AFD得出AB＝AD，即可得出结论；

（2）连接AC交BD于O，则AC⊥BD，证出EF∥BD，得出∠CBD＝∠CEF＝30°，∠ABC＝60°，证明△ABC是等边三角形，∠EBG＝∠FDH，得出∠BAG＝∠ABG，∴AG＝BG，同理：AH＝DH，得出BE＝BC＝AB，由菱形的性质和角平分线的性质得出点G到AB与BC边上的高相等，得出S△ABG＝2S△BEG；证明△BEG≌△DFH得出BG＝DH，得出AG＝AH，得出S△ABG＝S△ADH，S△ADH＝2S△BEG；证出△AGH是等边三角形，得出GH＝AG＝AH＝BG＝DH，OG＝AG＝EG，OA＝OG＝BE，得出△AGH的面积＝2△BEG的面积；△GHF的面积＝△DFH的面积，得出△DFG的面积＝2△BEG的面积．

解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠B＝∠D，

∵AE⊥BC，AF⊥CD，

∴∠AEB＝∠AFD＝90°，

在△AEB和△AFD中，，

∴△AEB≌△AFD（ASA），

∴AB＝AD，

∴ABCD是菱形；

（2）解：图中面积是△BEG面积2倍的所有三角形为△ABG、△ADH、△AGH、△DFG；理由如下：

连接AC交BD于O，如图所示：

则AC⊥BD，

∵BC＝CD，BE＝DF，

∴BE：BC＝DF：CD，

∴EF∥BD，

∴∠CBD＝∠CEF＝30°，

∴∠ABC＝60°，

∵ABCD是菱形，

∴BC＝CD＝AB，

∴△ABC是等边三角形，∠EBG＝∠FDH，

∴∠BAG＝∠ABG，

∴AG＝BG，

同理：AH＝DH，

∵AE⊥BC，

∴BE＝BC＝AB，

∵ABCD是菱形，

∴BD是∠ABC的平分线，

∴点G到AB与BC边上的高相等，

∴S△ABG＝2S△BEG，

在△BEG和△DFH中， ，

∴△BEG≌△DFH（ASA），

∴△BEG的面积＝△DFH的面积，BG＝DH，

∴AG＝AH，

∵△AEB≌△AFD，

∴S△ABG＝S△ADH，∴S△ADH＝2S△BEG；

∵∠GAH＝∠OAG+∠OAH＝60°，

∴△AGH是等边三角形，

∴GH＝AG＝AH＝BG＝DH，OG＝AG＝EG，OA＝OG＝BE，

∴△AGH的面积＝2△BEG的面积，

∴△GHF的面积＝△DFH的面积，

∴△DFG的面积＝2△BEG的面积；

∴图中面积是△BEG面积2倍的三角形为：△ABG、△ADH、△AGH、△DFG．