Question

如图，在直角△ABC中，∠C=90°，矩形DEFG的四个顶点都在△ABC的边上，已知：AC=4，BC=3．
（1）当四边形DEFG为正方形时，求DG的长；
（2）△ADG与△GCF能全等吗？若能，请你求出DG的长；若不能，请说明原因；
（3）△ADG与△BEF能全等吗？若能，请你求出DG的长；若不能，请说明原因．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,全等三角形的判定,矩形的性质,正方形的性质

专题：

分析：（1）先由面积求出CH，再证明△GFC∽△ABC，得出比例式，由GF=DG求出DG的长；
（2）由△ADG≌△GCF时，DG=CF，AD=CG，AG=GF，再由△FEB∽△ACB得出比例式求出DG的长；
（3）由题意推出不成立．

解答：解：（1）过C作CH⊥AB于H，交GF于M，如图所示：
设DG=x，
∵四边形DEFG为正方形，
∴GF=DG=x，
∵∠C=90°，
∴AB=

32+42

=5，
∵S△ABC=

1

2

×AB×CH=

1

2

×AC×BC，
∴CH=

AC×BC

AB

=

4×3

5

=

12

5

，
∵GF∥DE，∴△GFC∽△ABC，
∴

CM

CH

=

GF

AB

，即

12 5 -x

12 5

=

x

5

，
解得  x=

60

37

，即DG=

60

37

；
（2）能；当△ADG≌△GCF时，DG=CF，AD=CG，AG=GF，设DG=CF=y，
则BF=3-y；
∵∠FEB=∠C=90°，∠B=∠B，
∴△FEB∽△ACB中，
∴

EF

BF

=

AC

AB

，即

y

3-y

=

4

5

，
解得  y=

4

3

；
即DG=

4

3

；
（3）不能，
∵DG=EF，∠ADG=∠BEF=90°，∠A=∠BFE，∠AGD=∠FBE
虽有四组条件，但不对应，要使△ADG与△BEF全等，
须使AD=EF，则AD=DG，即须使∠A=45°，
由AC=4，BC=3知，∠A不可能等于45°，
∴△ADG与△BEF不可能全等．

点评：本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质以及全等三角形的判定；证明三角形相似得出比例式是解决问题的关键．