Question

【题目】如图1，在一张ABCD的纸片中，ABCD的面积为6，DC＝3，∠BCD＝45°，点P是BD上的一动点（点P与点B，D不重合）．现将这张纸片分别沿BD，AP剪成三块，并按图2（注：图2中的①，②是将图1中的①，②翻转背面朝上，再拼接而成的）所示放置

（1）当点P是BD的中点时，求AP的长．

（2）试探究：当点P在BD的什么位置上时，MN的长最小？请求出这个最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）当AP⊥BD时，MN的长最小，

【解析】

（1）连接AC交BD于P，根据平行四边形的性质得到PD＝PB，即点P是BD的中点，过D作DH⊥AB于H，PE⊥AB于E，根据三角形的中位线的性质得到PE＝DH，BE＝BH，根据已知条件得到DH＝2，解直角三角形即可得到结论；

（2）由题意得，CM＝CN＝AP，∠MCD＝∠PAB，∠NCB＝∠PAD，于是得到∠MCN＝90°，当AP⊥BD时，MN的长最小，过D作DH⊥AB于H，根据勾股定理得到BD＝＝，根据三角形的面积公式得到AP＝，根据勾股定理即可得到结论．

解：（1）连接AC交BD于P，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴PD＝PB，即点P是BD的中点，

过D作DH⊥AB于H，PE⊥AB于E，

∴PE∥DH，

∴PE＝DH，BE＝BH，

∵ABCD的面积为6，DC＝3，

∴DH＝2，

∴PE＝1，

∵∠BCD＝45°，

∴∠DAB＝45°，

∴AH＝DH＝2，

∴BH＝1，

∴HE＝BE＝，

∴AE＝，

∴AP＝＝；

（2）由题意得，CM＝CN＝AP，∠MCD＝∠PAB，∠NCB＝∠PAD，

∴∠MCD+∠NCB＝45°，

∴∠MCN＝90°，

当AP⊥BD时，MN的长最小，

过D作DH⊥AB于H，

由（1）求得DH＝2，BH＝1

∴BD＝＝ ，

∵AP⊥BD，

∴S△ABD＝ABDH＝BDAP，

∴AP＝，

∴CM＝CN＝AP＝，

∴MN＝＝，

∴MN长的最小值是．