Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，EB=EC
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若以点O、D、E、C为顶点的四边形是正方形，试判断△ABC的形状，并说明理由．

Answer 1

考点：切线的判定,等腰直角三角形

专题：

分析：（1）运用垂径定理、直角三角形的性质证明∠ODE=90°即可解决问题；
（2）证明∠B=45°，∠A=45°，进而证明AC=BC即可解决问题．

解答：（1）证明：连接CD，OC
∵AC是直径，
∴∠ADC=90°，
∴∠CDB=90°，
又∵EB=EC
∴DE为直角△DCB斜边的中线，
∴DE=CE=

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BC．
∴∠DCE=∠CDE，
∵OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC，
∴∠ODC+∠CDE=∠OCD+∠DCE=∠ACB=90°，
∴∠ODE=90°
∴DE是⊙O的切线．
（2）解：△ABC是等腰直角三角形
当以点O、D、E、C为顶点的四边形是正方形时，则∠DEB=90°，
又∵DE=BE，
∴△DEB是等腰直角三角形，
则∠B=45°，∠A=45°，
∴AC=BC，
∴△ABC是等腰直角三角形．

点评：该命题以圆为载体，以切线的判定为考查的核心构造而成；同时还渗透了对圆周角定理的推论、直角三形的性质等几何知识点的考查；对综合的分析问题解决问题的能力提出了较高的要求．