Question

一次函数y=kx+b的图象分别与x轴、y轴相交于A（2，0）、B（0，-2）两点，又与反比例函数y=

m

x

的图象相交于C、D两点，BD=AC=

2

．

（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）求△COD的面积；
（3）y轴上是否存在点P，使△OCP为等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：

分析：（1）根据待定系数法即可求得一次函数的解析式，通过三角形相似求得C的坐标进而求得反比例函数的解析式；
（2）联立方程，求得C、D的坐标，根据S_△COD=S_△BOC+S_△BOD即可求得；
（3）设P（0，n），分三种情况分别讨论求得．

解答：解：（1）∵一次函数y=kx+b的图象分别与x轴、y轴相交于A（2，0）、B（0，-2）两点，
∴

2k+b=0 b=-2

，
解得

k=1 b=-2

，
∴一次函数的解析式为y=x-2，
∵A（2，0）、B（0，-2），
∴AB=2

2

，
如图，过C点作CE⊥x轴与E，
∴△AOB∽△AEC，
∴

CE

OB

=

AC

AB

=

AE

OA

，
∵BD=AC=

2

，
∴CE=1，AE=1
∴OE=3，
∴C（3，1），
代入反比例函数y=

m

x

中，1=

m

3

，解得m=3，
∴反比例函数的解析式为y=

3

x

；
（2）解

y=x-2 y= 3 x

得

x=3 y=1

或

x=-1 y=-3

，
∴C（3，1），D（-1，-3），
∴S_△COD=S_△BOC+S_△BOD=

1

2

×2×3+

1

2

×2×1=4；
（3）存在；
∵C（3，1），
∴OC=

32+12

=

10

，
∵点P在y轴上，
∴设P（0，n），
当OP=OC时，则n=±

10，

∴P的坐标为（0，

10

）或（0，-

10

）；
当OP=PC时，则n²=3²+（1-n）²，解得n=5，
∴P的坐标为（0，5）；
当OC=PC时，则（

10

）²=3²+（1-n）²，解得n=0或n=2，
∴P的坐标为（0，2）；
综上，P的坐标为（0，

10

）或（0，-

10

）或（0，5）或（0，2）；

点评：本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法求解析式，三角形相似的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形面积的求法等，作出辅助线证明三角形相似是关键．