Question

如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=AB=CD=5，∠ABC=60°，E是AB边上的一点

AE

BE

=

2

3

，点F是射线BC上一点，连接EF交射线DC于点G．
（1）求BC的长；
（2）若点F在BC的延长线上，设CF=x，

DG

CG

=y，求y与x之间的函数解析式，并写出定义域；
（3）当CF=2时，求DG的长．

Answer 1

考点：梯形,相似三角形的判定与性质

专题：计算题

分析：（1）过点D作DM∥AB交BC于点M，即可得到一个平行四边形，进而得到一个等边三角形，最后求出BC的长；
（2）延长FE交DA的延长线于点O，然后根据相似三角形的性质进行解答即可；
（3）结合第二问的结论代入进行求值．

解答：解：（1）如图1所示，过点D作DM∥AB交BC于点M，
则四边形ABMD是平行四边形，
∴BM=AD=5，∠DMC=∠ABC=60°，
∵AD=AB=CD=5，
∴△CMD是等边三角形，
∴CM=CD=5，
∴BC=BM+CM=5+5=10；
（2）如图2所示，延长FE交DA的延长线于点O，
∵AD∥BC，
∴△ODG∽△FCG，
∴

OD

CF

=

DG

CG

，
∵CF=x，

DG

CG

=y，
∴

OD

x

=y，①
∵AD∥BC，
∴△OAE∽△FBE，
∴

OA

BF

=

AE

BE

，
∵

AE

BE

=

2

3

，
∴

OA

10+x

=

2

3

，
∴OA=

2

3

(10+x)，②
由①②得y=

35

3x

+

2

3

，
即y与x的函数关系式为
y=

35

3x

+

2

3

，（x＞0）；
（3）当CF=2，即x=2时，y=

35

3×2

+

2

3

=

13

3

，
即

DG

CG

=

13

3

，
∵DG+CG=5，
∴DG=

65

16

．

点评：该题目考查了等腰梯形的性质、相似三角形的判定和性质，对边三角形的判定和性质，关键是分析题意作出辅助线．