Question

【题目】如图，在数轴上点表示数，点表示数，表示点和点之间的距离，且，满足.

（1）求，两点之间的距离；

（2）若在数轴上存在一点，且，直接写出点表示的数；

（3）若在原点处放一挡板，一小球甲从点处以1个单位/秒的速度向左运动；同时另一小球乙从点处以2个单位/秒的速度也向左运动，在碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为t（秒），
①分别表示甲、乙两小球到原点的距离（用t表示）；
②求甲、乙两小球到原点的距离相等时经历的时间.

Answer 1

【答案】（1）8；（2）或；（3）（3）①t+2； 6-2t；2t-6；②故当t=秒或t=8秒时，甲乙两小球到原点的距离相等．

【解析】

（1）先根据非负数的性质求出a、b的值，再根据两点间的距离公式即可求得A、B两点之间的距离；
（2）分C点在线段AB上和线段AB的延长线上两种情况讨论即可求解；
（3）①甲球到原点的距离=甲球运动的路程+OA的长，乙球到原点的距离分两种情况：（Ⅰ）当0＜t≤3时，乙球从点B处开始向左运动，一直到原点O，此时OB的长度-乙球运动的路程即为乙球到原点的距离；（Ⅱ）当t＞3时，乙球从原点O处开始向右运动，此时乙球运动的路程-OB的长度即为乙球到原点的距离；
②分两种情况：（Ⅰ）0＜t≤3，（Ⅱ）t＞3，根据甲、乙两小球到原点的距离相等列出关于t的方程，解方程即可．

（1）∵|a+2|+（b+3a）2=0，
a+2=0，b+3a=0，
∴a=-2，b=6；
∴AB的距离=|b-a|=8；
（2）设数轴上点C表示的数为c．
∵AC=2BC，
∴|c-a|=2|c-b|，即|c+2|=2|c-6|．
∵AC=2BC＞BC，
∴点C不可能在BA的延长线上，则C点可能在线段AB上和线段AB的延长线上．
①当C点在线段AB上时，则有-2≤c≤6，
得c+2=2（6-c），解得c=；
②当C点在线段AB的延长线上时，则有c＞6，
得c+2=2（c-6），解得c=14．
故当AC=2BC时，c=或c=14；
（3）①∵甲球运动的路程为：1t=t，OA=2，
∴甲球与原点的距离为：t+2；
乙球到原点的距离分两种情况：
（Ⅰ）当0＜t≤3时，乙球从点B处开始向左运动，一直到原点O，
∵OB=6，乙球运动的路程为：2t=2t，
∴乙球到原点的距离为：6-2t；
（Ⅱ）当t＞3时，乙球从原点O处开始一直向右运动，
此时乙球到原点的距离为：2t-6；
②当0＜t≤3时，得t+2=6-2t，
解得t=；
当t＞3时，得t+2=2t-6，
解得t=8．
故当t=秒或t=8秒时，甲乙两小球到原点的距离相等．