Question

15．如图，△ABC边AB上点D、E（不与点A、B重合），满足∠DCE=∠ABC，∠ACB=90°，AC=3，BC=4；
（1）当CD⊥AB时，求线段BE的长；
（2）当△CDE是等腰三角形时，求线段AD的长；
（3）设AD=x，BE=y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域．

Answer 1

分析 （1）先根据∠ACB=90°，AC=3，BC=4，求得AB=5，sinA=$\frac{4}{5}$，tanB=$\frac{3}{4}$，再根据△ACD为直角三角形，求得AD，在Rt△CDE中，求得DE，最后根据BE=AB-AD-DE进行计算即可；
（2）当△CDE时等腰三角形时，可知∠CDE＞∠A＞∠B=∠DCE，∠CED＞∠B=∠DCE，进而得出∠CED=∠CDE，再根据∠B=∠DCE，∠CDE=∠BDC，得到∠BCD=∠CED=∠CDE=∠BDC，最后求得AD的长；
（3）先作CH⊥AB于H，Rt△ACH中，求得CH和AH的长，在Rt△CDH中，根据勾股定理得出：CD²=x²-$\frac{18}{5}$x+9，再判定△BDC∽△CDE，得出CD²=DE•DB，即x²-$\frac{18}{5}$x+9=（5-x-y）（5-x），最后求得y关于x的函数解析式，并写出定义域．

解答 （1）在△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，
∴AB=5，sinA=$\frac{4}{5}$，tanB=$\frac{3}{4}$，
如图，当CD⊥AB时，△ACD为直角三角形，
∴CD=AC•sinA=$\frac{12}{5}$，
∴AD=$\sqrt{A{C}^{2}-C{D}^{2}}$=$\frac{9}{5}$，
又∵∠DCE=∠ABC，
∴在Rt△CDE中，DE=CD•tan∠DCE=$\frac{12}{5}$×$\frac{3}{4}$=$\frac{9}{5}$，
∴BE=AB-AD-DE=5-$\frac{9}{5}$-$\frac{9}{5}$=$\frac{7}{5}$；

（2）当△CDE时等腰三角形时，可知∠CDE＞∠A＞∠B=∠DCE，∠CED＞∠B=∠DCE，
∴唯有∠CED=∠CDE，
又∵∠B=∠DCE，∠CDE=∠BDC，
∴∠BCD=∠CED=∠CDE=∠BDC，
∴BD=BC=4，
∴AD=5-4=1；

（3）如图所示，作CH⊥AB于H，
∵$\frac{1}{2}$×BC×AC=$\frac{1}{2}$AB×CH，
∴CH=$\frac{12}{5}$，
∴Rt△ACH中，AH=$\sqrt{A{C}^{2}-C{H}^{2}}$=$\frac{9}{5}$，
∴在Rt△CDH中，CD²=CH²+DH²=（$\frac{12}{5}$）²+（$\frac{9}{5}$-x）²=x²-$\frac{18}{5}$x+9，
又∵∠CDE=∠BDC，∠DCE=∠B，
∴△BDC∽△CDE，
∴CD²=DE•DB，
即x²-$\frac{18}{5}$x+9=（5-x-y）（5-x），
解得$y=\frac{32x-80}{5x-25}$$（0＜x＜\frac{5}{2}）$．

点评 本题属于三角形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理以及解直角三角形的综合应用，解决问题的关键是中辅助线构造直角三角形，根据勾股定理以及面积法进行求解．