Question

如图，在△ABC中，过C作∠BAC的平分线AD的垂线，垂足为D，AD交BC于G，DE∥AB交AC于E．
（1）求证：AE=CE；
（2）作∠BCA的平分线CF交AD于P，交AB于F，求证：∠PCD=

1

2

∠B；
（3）在（2）的条件下，若∠B=60°，求证：AF+GC=AC．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,线段垂直平分线的性质,等腰三角形的性质,相似三角形的判定与性质

专题：计算题

分析：（1）延长CD，交AB的延长线于H，由AD垂直于CH，AD为角平分线，得到三角形ACH为等腰三角形，利用三线合一得到D为CH中点，即CD=DH，由DE与AH平行，利用平行线等分线段定理即可得证；
（2）连接HP，HG，由AD垂直平分CH，得到HG=CG，HP=CP，AH=AC，利用等边对等角得到三对角相等，进而得到∠AHP=∠ACP，再由∠CFH为公共角，利用两对对应角相等的两三角形相似得到三角形HFP与三角形CFB相似，由相似三角形对应角相等得到∠FPH=∠CBF，由CP=HP，利用等边对等角且外角性质，等量代换即可得证；
（3）由（2）得到∠PCD与∠PHD的度数，求出∠CPD与∠HPD的度数，根据CF为角平分线得到HP为∠FHP的平分线，得到一对角相等，利用ASA得到三角形HFP与三角形HGP全等，由全等三角形对应边相等得到HF=GH=CG，由AF+CG等量代换即可得证．

解答：证明：（1）延长CD，交AB的延长线于H，
∵AD⊥CH，即∠ADC=∠ADH=90°，∠HAD=∠CAD，
∴∠H=∠ACH，
∴AH=AC，即△ACH为等腰三角形，
∴CD=DH，
∵DE∥AH，
∴AE=CE；
（2）连接HP，HG，
∵AD为HC的垂直平分线，
∴∠AHP=∠ACP，
∵∠CFH为公共角，
∴△HFP∽△CFB，
∴∠FPH=∠CBF，
∵CP=HP，
∴∠FPH=∠PCD+∠PHD=2∠PCD，
∴∠PCD=

1

2

∠CBF；
（3）由（2）得：∠PCD=30°=∠PHD，
∴∠CPD=∠HPD=60°，
∵CF为∠ACB的平分线，
∴HP为∠FHG的平分线，
在△HFP和△HGP中，

∠FHP=∠GHP HP=HP ∠HPF=∠HPG=60°

，
∴△HFP≌和△HGP（ASA），
∴HG=HF=CG，
则CG+AF=HF+AF=AH=AC．

点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．