Question

5．如图，已知抛物线经过点A（-1，0）、B（3，0）、C（0，-3）．
（1）求抛物线的解析式及其顶点D的坐标；
（2）直线CD交x轴于点E，过抛物线上在对称轴的右边的点P，作y轴的平行线交x轴于点F，交直线CD于M，使PM=$\frac{2}{5}$EF，请求出点P的坐标；
（3）将抛物线沿对称轴平移，要使抛物线与（2）中的线段EM总有交点，那么抛物线向上最多平移多少个单位长度，向下最多平移多少个单位长度．

Answer 1

分析 （1）设交点式y=a（x+1）（x-3），然后把C点坐标代入求出a的值即可得到所以抛物线解析式．再把解析式配成顶点式可得D点坐标；
（2）先利用待定系数法求出直线CD的解析式为y=-x-3，再确定E点坐标，根据二次函数图象上点的坐标特征和一次函数图象上点的坐标特征，设P（t，t²-2t-3）（t＞1），则M（t，-t-3），F（t，0），则可用m表示出EF，PM，然后利用PM=$\frac{2}{5}$EF得到关于t的方程，再解方程求出t的值即可得到P点坐标；
（3）设平移后的抛物线解析式为y=x²-2x-3+m，利用方程x²-2x-3+m=-x-3有两个相等实数解可判断抛物线y=x²-2x-3+m与直线y=-x-3有唯一公共点，则可利用根的判别式求出抛物线向上最多平移的单位长度；然后把E点和M点坐标分别代入y=x²-2x-3+m中求出对应的m的值，从而得到抛物线向下最多平移的单位长度．

解答 解：（1）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x-3），
把C（0，-3）代入得a•1•（-3）=-3，解得a=1，
所以抛物线解析式为y=（x+1）（x-3），即y=x²-2x-3；
因为y=（x-1）²-4，
所以顶点D的坐标为（1，-4）；
（2）如图，设直线CD的解析式为y=kx+b，
把C（0，-3），D（1，-4）代入得$\left\{\begin{array}{l}{b=-3}\\{k+b=-4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
所以直线CD的解析式为y=-x-3，
当y=0时，-x-3=0，解得x=-3，则E（-3，0），
设P（t，t²-2t-3）（t＞1），则M（t，-t-3），F（t，0），
所以EF=t+3，PM=t²-2t-3-（-t-3）=t²-t，
而PM=$\frac{2}{5}$EF，
所以t²-t=$\frac{2}{5}$（t+3），
整理得5t²-7t-5=0，解得t₁=-$\frac{3}{5}$（舍去），t₂=2，
所以P点坐标为（2，-3）；
（3）当t=2时，M点坐标为（2，-5），
设平移后的抛物线解析式为y=x²-2x-3+m，
当抛物线y=x²-2x-3+m与直线y=-x-3有唯一公共点，方程x²-2x-3+m=-x-3即x²-x+m=0有两个相等实数解，则△=1-4m=0，解得m=$\frac{1}{4}$；
当抛物线y=x²-2x-3+m经过点M（2，-5），则4-4-3+m=-5，解得m=-2；
当抛物线y=x²-2x-3+m经过点E（-3，0），则9-2×（-3）-3+m=0，解得m=-12，
所以抛物线向上最多平移$\frac{1}{4}$个单位长度，向下最多平移12个单位长度．

点评 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求一次函数与二次函数的解析式；了解二次函数图象的几何变换．