Question

16．如图，AB是⊙O的直径，AC、BC是⊙O的弦，AD∥BC，且∠DCA=∠B．
（1）求证：DC与⊙O相切；
（2）若sinB=$\frac{4}{5}$，AB=5，求AD的长．

Answer 1

分析 （1）直接利用圆周角定理得出∠ACB=90°，再利用已知得出DCA+∠ACO=90°，进而求出答案；
（2）利用锐角三角函数关系得出AC的长，再利用勾股定理得出BC的长，再结合相似三角形的判定与性质得出△DAC∽△ACB，则$\frac{AD}{AC}$=$\frac{AC}{BC}$，进而求出答案．

解答 （1）证明：连接CO，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，即∠ACO+∠OCB=90°，
∵CO=OB，
∴∠OCB=∠B，
∵∠DCA=∠B，
∴∠DCA=∠BCO，
∴DCA+∠ACO=90°，
即∠DCO=90°，
∴DC与⊙O相切；

（2）解：∵sinB=$\frac{4}{5}$，AB=5，
∴$\frac{AC}{AB}$=$\frac{4}{5}$，
∴AC=4，则BC=$\sqrt{A{B}^{2}-A{C}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{4}^{2}}$=3，
∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB，
又∵∠DCA=∠B，
∴△DAC∽△ACB，
∴$\frac{AD}{AC}$=$\frac{AC}{BC}$，
即$\frac{AD}{4}$=$\frac{4}{3}$，
解得：AD=$\frac{16}{3}$．

点评 此题主要考查了切线的判定以及相似三角形的判定与性质以及勾股定理、锐角三角函数关系等知识，正确得出△DAC∽△ACB是解题关键．