Question

4．如图1是一台放置在水平桌面上的笔记本电脑，将其侧面抽象成如图2所示的几何图形，若显示屏所在面的侧边AO与键盘所在面的侧边BO长均为24cm，点P为眼睛所在位置，D为AO的中点，连接PD，当PD⊥AO时，称点P为“最佳视角点”，作PC⊥BC，垂足C在OB的延长线上，且BC=12cm．
（1）当PA=45cm时，求PC的长；
（2）若∠AOC=120°时，“最佳视角点”P在直线PC上的位置会发生什么变化？此时PC的长是多少？请通过计算说明．（结果精确到0.1cm，可用科学计算器，参考数据：$\sqrt{2}$≈1.414，$\sqrt{3}$≈1.732）

Answer 1

分析 （1）连结PO．先由线段垂直平分线的性质得出PO=PA=45cm，则OC=OB+BC=36cm，然后利用勾股定理即可求出PC=$\sqrt{4{5}^{2}-3{6}^{2}}$=27cm；
（2）过D作DE⊥OC交BO延长线于E，过D作DF⊥PC于F，则四边形DECF是矩形．先解Rt△DOE，求出DE=DO•sin60°=6$\sqrt{3}$，EO=$\frac{1}{2}$DO=6，则FC=DE=6$\sqrt{3}$，DF=EC=EO+OB+BC=42．再解Rt△PDF，求出PF=DF•tan30°=42×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=14$\sqrt{3}$，则PC=PF+FC=14$\sqrt{3}$+6$\sqrt{3}$=20$\sqrt{3}$≈34.68＞27，即可得出结论．

解答 解：（1）当PA=45cm时，连结PO．
∵D为AO的中点，PD⊥AO，
∴PO=PA=45cm．
∵BO=24cm，BC=12cm，∠C=90°，
∴OC=OB+BC=36cm，PC=$\sqrt{4{5}^{2}-3{6}^{2}}$=27cm；

（2）当∠AOC=120°，过D作DE⊥OC交BO延长线于E，过D作DF⊥PC于F，则四边形DECF是矩形．
在Rt△DOE中，∵∠DOE=60°，DO=$\frac{1}{2}$AO=12，
∴DE=DO•sin60°=6$\sqrt{3}$，EO=$\frac{1}{2}$DO=6，
∴FC=DE=6$\sqrt{3}$，DF=EC=EO+OB+BC=6+24+12=42．
在Rt△PDF中，∵∠PDF=30°，
∴PF=DF•tan30°=42×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=14$\sqrt{3}$，
∴PC=PF+FC=14$\sqrt{3}$+6$\sqrt{3}$=20$\sqrt{3}$≈34.68＞27，
∴点P在直线PC上的位置上升了．

点评 本题考查了解直角三角形的应用，线段垂直平分线的性质，勾股定理，矩形的判定与性质，锐角三角函数的定义，准确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．