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【题目】如图,AB是⊙O直径,OD⊥弦BC与点F,且交⊙O于点E,且∠AEC=∠ODB

(1)判断直线BD和⊙O的位置关系,并给出证明;

(2)当tan∠AEC=BC=8时,求OD的长.

【答案】(1)直线BD和⊙O相切,证明见解析;(2)

【解析】1)因为同弧所对的圆周角相等,所以有∠AEC=ABC,又∠AEC=ODB,所以∠ABC=ODBOD⊥弦BC,即∠ABC+BOD=90°,则有∠ODB+BOD=90°,即BD垂直于AB,所以BD为切线.
2由垂径定理可得FB=FC=4,再由三角关系得到DF=BD可由勾股定理求出,再由DBF∽△ODB,并根据对应线段成比例求出OD

解:(1)直线BD和⊙O相切

证明:∵∠AEC=ODBAEC=ABC

∴∠ABC=ODB

ODBC

∴∠DBC+ODB=90°

∴∠DBC+ABC=90°

∴∠DBO=90°

∴直线BD和⊙O相切.

2ODBC

FB=FC=4

tanAEC=tanODB=3:4

BFDF =3:4

DF=

利用勾股定理可求得BD=

通过证明DBF∽△ODB,利用相似比可得ODDB=BDFD

所以求出OD=

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