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【题目】如图,四边形ADBC内接于⊙OAD平分∠EDCAEBC交直线BDE

1)求证:AE是⊙O的切线;

2)若CD为直径,tanADE=2,求sinBDC的值.

【答案】1)见解析(2

【解析】

1)连接AB,连接AO并延长交BCF,由圆内接四边形的性质得出∠ADE=ACB,再由圆周角定理证出∠ABC=ACB,得出AB=AC,得出AFBC,证出AEAF即可得出结论;

2)连接AO并延长交BCG,由圆周角定理得出∠DAC=CBD=90°,证出四边形AEBG是矩形,得出BG=AEAG=BE,由三角函数得出AE=2DEAC=2ADAG=2CG=BC=2AE=4DE,得出AD=DECD=AD=5DE,即可得出结果.

1)证明:连接AB,连接AO并延长交BCF,如图1所示:

∵四边形ADBC内接于⊙OAD平分∠EDC

∴∠ADE=ACB,∠ADE=ADC

∵∠ADC=ABC

∴∠ABC=ACB

AB=AC

AFBC

AEBC

AEAF

AE是⊙O的切线;

2)解:连接AO并延长交BCG,如图2所示:

CD为直径,

∴∠DAC=CBD=90°

AEBC

∴∠E+CBD=90°

∴∠E=90°

∴四边形AEBG是矩形,

BG=AEAG=BE

∵∠ADE=ADC=ACB

AE=2DEAC=2ADAG=2CG=BC=2AE=4DE

AD=DECD=AD=5DE

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