Question

【题目】如图1，过点A（0，4）的圆的圆心坐标为C（2，0），B是第一象限圆弧上的一点，且BC⊥AC，抛物线经过C、B两点，与x轴的另一交点为D．

（1）点B的坐标为（ ， ），抛物线的表达式为 .

（2）如图2，求证：BD//AC；

（3）如图3，点Q为线段BC上一点，且AQ=5，直线AQ交⊙C于点P，求AP的长．

Answer 1

【答案】（1）（6，2）（2）见解析（3）8

【解析】

解：（1）过点B作BE⊥x轴于点E，

∵AC⊥BC，
∴∠ACO+∠BCE=90°，
∵∠ACO+∠OAC=90°，∠BCE+∠CBE=90°，
∴∠OAC=∠BCE，∠ACO=∠CBE．
∵在△AOC与△CEB中，

∴△AOC≌△CEB（AAS），则

CE=AO=4， BE=CO=2，OE=6，

∴B（6，2）．

将B（6，2），C（2，0）代入，得

，解得．

∴抛物线的表达式为．

（2）证明：令，即，解得x=2或x=7．

∴D（7，0）．

如下图所示，过点B作BE⊥x轴于点E，

则DE=OD-OE=1，CD=OD-OC=5．
在Rt△BDE中，由勾股定理得：；

在Rt△BCE中，由勾股定理得：

在△BCD中，BC =，BD=，CD=5．

∴．

∴∠CBD=90°，即BD⊥BC．

又∵ AC⊥BC，∴BD//AC．

（3）连接AB，BP，

∵AC⊥BC，BC=AC=，

∴∠ACB=90°，∠ABC=45°，∠APB=∠ACB=45°，AB=．

∴∠ABQ=∠APB．

又∵∠BAQ=∠PAB，∴△ABQ∽△APB．

∴，即，解得AP=8．